Вещественные матрицы 2 × 2

Ассоциативная алгебра Шаблон:Gaps вещественных матриц обозначается $M(2,ℝ)$. Две матрицы p и q в $M(2,ℝ)$ имеют сумму $p+q$, определяемую сложением матриц. Произведение матриц Шаблон:Nowrap образуется скалярным произведением строк и столбец сомножителей через операцию умножения матриц. Для

$q=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$

пусть

$q^{\ast }=\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$

Тогда $q{q}^{\ast }=q^{\ast }q=(ad-bc)E$, где $E$ — Шаблон:Gaps единичная матрица. Вещественное число $ad-bc$ называется определителем матрицы q. Если $ad-bc\ne 0$, q является невырожденной матрицей, и в этом случае

$q^{-1}=q^{\ast }/(ad-bc).$

Набор всех таких обратимых матриц формирует полную линейную группу $GL(2,ℝ)$. В терминах абстрактной алгебры $M(2,ℝ)$ с операциями сложения и умножения образуют кольцо, а $GL(2,ℝ)$ является его группой единиц. $M(2,ℝ)$ является четырёхмерным векторным пространством, так что эта алгебра считается ассоциативной. Она изоморфна (как кольцо) Шаблон:Не переведено 5, но с другой структурой.

Шаблон:Gaps вещественные матрицы находятся в один-к-одному соответствии с линейными отображениями двумерной прямоугольной системы координат в себя по правилу

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+by\\ cx+dy\end{array}\right).$

Структура

Внутри $M(2,ℝ)$ умножение на вещественные числа единичной матрицы E можно считать вещественной прямой. Эта вещественная прямая является местом, где все коммутативные подкольца сходятся вместе:

Пусть $P_m=\{xE+ym:x,y\in ℝ\}$ где $m^2\in \{-E,0,E\}$. Тогда $P_m$ является коммутативным подкольцом и $M(2,ℝ)=\cup P_m$, где объединение осуществляется по всем m, таким, что $m^2\in \{-E,0,E\}$.

Для выявления таких матриц m сначала возведём в квадрат матрицу общего вида:

$\left(\begin{array}{cc}aa+bc& ab+bd\\ ac+cd& bc+dd\end{array}\right)$.

Если a + d = 0, эта матрица становится диагональной. Тогда предполагаем d = −a при поиске матриц m, образующих коммутативные подкольца. Если $mm=-E$, то получаем $bc=-1-aa$, уравнение гиперболического параболоида в пространстве параметров $(a,b,c)$. Такая матрица m выступает в качестве мнимой единицы. В этом случае подкольцо $P_m$ изоморфно полю (обычных) комплексных чисел.

Если $mm=+E$, матрица m является инволютивной матрицей. Тогда уравнение $bc=+1-aa$ также даёт гиперболический параболоид. Если матрица является идемпотентной, она должна находиться в P_m и в этом случае подкольцо P_m изоморфно кольцу двойных чисел.

В случае нильпотентной матрицы mm = 0 получается, когда только одна из величин b или c не равна нулю, а коммутативное подкольцо P_m является тогда копией плоскости дуальных чисел.

Если $M(2,ℝ)$ преобразуется Шаблон:Нп5, эта структура изменяется в Шаблон:Нп5, где множества квадратных корней из E и -E принимают одинаковые формы в виде гиперболоидов.

Сохраняющее площади отображение

Шаблон:Main Первое отображение отображает один дифференциальный вектор в другой:

$\left(\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p& r\\ q& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}pdx+rdy\\ qdx+sdy\end{array}\right).$

Площади измеряются с плотностью $dx\wedge dy$, дифференциальной 2-формой, которая использует внешнюю алгебру. Преобразованная плотность равна

$\begin{array}{cc}du\wedge dv& =0+psdx\wedge dy+qrdy\wedge dx+0\\ & =(ps-qr)dx\wedge dy=(detg)dx\wedge dy.\end{array}$

Тогда сохраняющие площади отображения представляют собой группу $SL(2,ℝ)$$=\{g\in M(2,ℝ):det(g)=1\}$, специальную линейную группу. Если задана вышеупомянутая структура, любой такой g лежит в коммутативном подкольце P_m, представляющем вид комплексной плоскости, соответствующей квадрату m. Поскольку $g{g}^{\ast }=E$, возможны три варианта:

• $mm=-E$ и g лежит на окружности евклидовых поворотов
• $mm=E$ и g лежит на гиперболе Шаблон:Нп5
• $mm=0$ и g лежит на прямой Шаблон:Нп5

Обсуждая планарные аффинные отображения, Рафаэль Артци сделал аналогичное деление случаев планарного линейного отображения в своей книге Линейная геометрия (1965).

Функции на 2 × 2 вещественных матрицах

Коммутативные подкольца алгебры $M(2,ℝ)$ определяют теорию функций. В частности, три типа подплоскостей имеют собственные алгебраические структуры, которые определяют значение алгебраических выражений. Соглашения для функции «квадратный корень» и «логарифмической функции» помогают проиллюстрировать ограничения, вытекающие из свойств каждого типа подплоскостей P_m, описанных выше. Концепция Шаблон:Не переведено 5 группы единиц подкольца P_m приводит к полярному разложению элементов группы единиц:

• Если $mm=-E$, то $z=\rho \exp (\theta m)$.
• Если $mm=0$, то $z=\rho \exp (sm)$ или $z=-\rho \exp (sm)$.
• Если $mm=E$, то $z=\rho \exp (am)$, или $z=-\rho \exp (am)$ или $z=m\rho \exp (am)$ или $z=-m\rho \exp (am)$.

В первом случае $\exp (\theta m)=\cos (\theta )+m\sin (\theta )$. В случае дуальных чисел $\exp (sm)=1+sm$. Наконец, в случае расщепляемых комплексных чисел имеется четыре компоненты в группе единиц. Единичная компонента параметризуются переменной ρ и $\exp (am)=\mathrm{c}\mathrm{h}a+m\mathrm{s}\mathrm{h}a$.

Теперь $\sqrt{\rho \exp (am)}=\sqrt{\rho }\exp (am/2)$ независимо от подплоскости P_m, но аргументы функции должны быть взяты из единичной компоненты её группы единиц. Половина плоскости теряется в случае структуры дуальных чисел. Три четверти плоскости нужно исключить в случае структуры двойных чисел.

Аналогично, если $\rho \exp (am)$ является элементом единичной компоненты группы единиц плоскости, ассоциированной с Шаблон:Gaps матрицей m, то значением логарифмической функции будет $\log \rho +am$. На область определения логарифмической функции накладываются те же ограничения, что и на функцию «квадратный корень», описанную выше, — половина или три четверти P_m должны быть исключены в случаях mm = 0 или $mm=E$.

Дальнейшее описание теории для структуры $ℂ$ можно найти в статье «Комплексные функции», а для структуры расщепляемых комплексных чисел — в статье Шаблон:Не переведено 5.

2 × 2 вещественные матрицы как комплексные числа

Шаблон:Anchor Любую Шаблон:Gaps вещественную матрицу можно интерпретировать как одно из трёх типов (обобщённыхШаблон:Sfn) комплексных чисел — стандартные комплексные числе, дуальные числа и расщепляемые комплексные числа. Выше, алгебра Шаблон:Gaps матриц структурирована как объединение комплексных плоскостей, разделяющих одну и ту же вещественную ось. Эти плоскости представляются как коммутативные подкольца P_m. Мы можем определить, какой комплексной плоскости принадлежит данная Шаблон:Gaps матрица, и классифицировать, какого рода комплексные числа представляет данная плоскость.

Рассмотрим Шаблон:Gaps матрицу

$z=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$

Мы ищем комплексную плоскость P_m, содержащую матрицу z.

Как было отмечено выше, квадрат матрицы z диагонален, если a + d = 0. Матрица z должна быть выражена в виде суммы единичной матрицы E с коэффициентом и матрицы на гиперплоскости a + d = 0. Проектируя z на все эти подпространства ${ℝ}^4$, получим

$z=xI+n,x=\frac{a+d}{2},n=z-xI.$

Более того,

$n^2=pI$, где $p=\frac{(a-d{)}^2}{4}+bc$.

Тогда z принадлежит одному из трёх типов комплексных чисел:

• Если p < 0, то это обычное комплексное число:

Пусть $q=1/\sqrt{-p},m=qn$. Тогда $m^2=-I,z=xI+m\sqrt{-p}$.

• Если p = 0, то это дуальное число:

$z=xI+n$.

• Если p > 0, то z является двойным числом:

Пусть $q=1/\sqrt{p},m=qn$. Тогда $m^2=+I,z=xI+m\sqrt{p}$.

Аналогично, Шаблон:Gaps может быть выражена в полярных координатах с учётом, что имеются две связные компоненты группы единиц на плоскости дуальных чисел и четыре компоненты на плоскости двойных чисел.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья