Краевая задача

Краевая задача (граничная задача) — задача о нахождении решения заданного дифференциального уравнения (системы дифференциальных уравнений), удовлетворяющего краевым (граничным) условиям в концах интервала или на границе области. Краевые задачи для гиперболических и параболических уравнений часто называют начально-краевыми или смешанными, потому что в них задаются не только граничные, но и начальные условия.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Линейные уравнения n-го порядка

Краевая задача для линейного уравнения n-го порядка имеет вид

$L(y)=f(x),U_{\mu }(y)={\gamma }_{\mu },\mu =1,2,\dots ,m,$

где

$L(y)=\sum _{\nu =0}^n{f}_{\nu }(x)y^{(\nu )},$

функции $f(x)$ и $f_{\nu }(x)$ непрерывны на отрезке $a\le x\le b$, $f_n(x)\ne 0$, краевые условия заданы линейными формами

$U_{\mu }(y)=\sum _{k=0}^{n-1}[{\alpha }_{\mu }^{(k)}{y}^{(k)}(a)+{\beta }_{\mu }^{(k)}{y}^{(k)}(b)],\mu =1,2,\dots ,m,$

${\gamma }_{\mu }$ — заданные числа. Матрица, составленная из коэффициентов ${\alpha }_{\mu },{\beta }_{\mu }$ имеет ранг $m$, при этом краевые условия линейно независимы. Если ${\gamma }_{\mu }=0$ и $f(x)\equiv 0$, краевая задача называется однородной, если только ${\gamma }_{\mu }=0$ — полуоднородной.Шаблон:Sfn

Задача на собственные значения

Собственными значениями называются те значения параметра $\lambda$, при которых однородная краевая задача

$L(y)+\lambda g(x)y=0,U_{\mu }(y)=0,\mu =1,2,\dots ,m,$

имеет нетривиальное (т.е. не равное тождественно нулю) решение. Совокупность собственных значений называют спектром, а соответствующие нетривиальные решения — собственными функциями этой задачи.

Если ${\phi }_1(x,\lambda ),{\phi }_2(x,\lambda ),\dots ,{\phi }_n(x,\lambda )$ — фундаментальная система решений рассматриваемого дифференциального уравнения, такая что

${\phi }_p^{(q)}(a,\lambda )=\{\begin{array}{c}1,q=p-1,\\ 0,q\ne p-1.\end{array}p=1,2,\dots ,n,q=0,\dots ,n-1,$

то собственные значения являются нулями характеристического детерминанта (определителя)

$\mathrm{\Delta }(\lambda )=\det [U_{\mu }({\phi }_{\nu })]$. Если $\mathrm{\Delta }(\lambda )\equiv ̸0$, то множество собственных значений не более чем счётно как множество нулей целой функции.Шаблон:Sfn

Для краевой задачи на собственные значения решаются следующие две стандартные проблемы:

• Задача о нахождении собственных значений. При каких предположениях относительно краевой задачи у неё существуют собственные значения? В каком случае их число бесконечно? Когда они действительны? Что можно сказать об их величине?
• Задача о разложении по собственным функциям. Если $u_{\nu }(x)$ — собственные функции краевой задачи, то при каких условиях заданная функция $F(x)$ может быть разложена в сходящийся ряд

$F(x)=\sum c_{\nu }{u}_{\nu }(x)$

по функциям $u_{\nu }(x)$?Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Частным случаем краевой задачи на собственные значения является задача Штурма-Лиувилля:

$\frac{d}{dx}[p(x)\frac{dy}{dx}]-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0$

$\begin{array}{c}{\alpha }_1{y}^{\prime }(a)+{\beta }_{1}y(a)=0,{\alpha }_1^2+{\beta }_1^2\ne 0;\\ {\alpha }_2{y}^{\prime }(b)+{\beta }_{2}y(b)=0,{\alpha }_2^2+{\beta }_2^2\ne 0;\end{array}$

Функция Грина

Шаблон:Рамка Теорема 1. Если однородная краевая задача $L(y)=0,U_{\mu }(y)=0,\mu =1,2,\dots ,n$ имеет только тривиальное (нулевое) решение, то для любой функции $f(x)$, непрерывной на отрезке $[a,b]$, существует решение полуоднородной краевой задачи $L(y)=f,U_{\mu }(y)=0,\mu =1,2,\dots ,n$, задаваемое формулой

$y(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}G(x,\xi )f(\xi )d\xi ,$

где $G(x,\xi )$ — функция Грина однородной краевой задачи.Шаблон:Sfn Шаблон:Конец рамки

С точки зрения теории операторов, краевая задача задает линейный дифференциальный оператор с областью определения, состоящей из $n$ раз непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,b]$ функций $y$, удовлетворяющих краевым условиям $U_{\mu }(y)=0$, и действующий по правилу $L(y)$. При условиях теоремы 1 этот оператор имеет обратный, который является интегральным оператором с ядром $G(x,\xi )$.

Функция Грина $G(x,\xi )$ однородной краевой задачи определяется как функция, удовлетворяющая следующим условиям:

1. $G(x,\xi )$ непрерывна и имеет непрерывные производные по $x$ до $(n-2)$-го порядка включительно для всех значений $x$ и $\xi$ из интервала $[a,b]$.
2. При любом фиксированном $\xi$ из отрезка $[a,b]$ функция $G(x,\xi )$ имеет непрерывные производные $(n-1)$-го и $n$-го порядка по $x$ в каждом из интервалов $[a,\xi )$ и $(\xi ,b]$, причем производная $(n-1)$-го порядка имеет при $x=\xi$ скачок $\frac{1}{f_n(x)}$.
3. В каждом из интервалов $[a,\xi )$ и $(\xi ,b]$ функция $G(x,\xi )$, рассматриваемая как функция от $x$, удовлетворяет уравнению $L(G)=0$ и краевым условиям $U_{\mu }(G)=0,\mu =1,2,\dots ,n$.

Шаблон:Рамка Теорема 2. Если однородная краевая задача имеет только тривиальное (нулевое) решение, то у неё существует единственная функция Грина.Шаблон:Sfn Шаблон:Конец рамки

С помощью функции Грина можно решить и неоднородную краевую задачу

$L(y)=f(x),U_{\mu }(y)={\gamma }_{\mu },\mu =1,2,\dots ,n.$

Решение имеет вид

$y=\underset{a}{\overset{b}{\int }}G(x,\xi )f(\xi )d\xi +\sum _{k=1}^n{\gamma }_k{\psi }_k(x),$

где ${\psi }_k(x)$ — решения краевых задач

$L(y)=0,U_k(y)=1,U_{\mu }(y)=0,\mu \ne k,\mu =1,2,\dots ,n.$Шаблон:Sfn

Краевая задача с параметром

$L(y)=\lambda y+f(x),U_{\mu }(y)=0,\mu =1,2,\dots ,n,$

эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго рода:

$y(x)=\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}G(x,\xi )y(\xi )d\xi +g(x),$

где

$g(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}G(x,\xi )f(\xi )d\xi .$

Собственные значения и собственные функции соответствующей однородной краевой задачи совпадают с характеристическими числами и собственными функциями ядра $G(x,\xi )$.Шаблон:Sfn

Системы линейных дифференциальных уравнений

Краевая задача состоит в отыскании системы функций $u_1(x),u_2(x),\dots ,u_n(x)$, удовлетворяющей системе линейных дифференциальных уравнений

$u{\text{'}}_{\mu }=\sum _{\nu =1}^m{f}_{\mu ,\nu }(x)u_{\nu }+f_{\mu }(x),\mu =1,2,\dots ,m,$

и краевым условиям

$U_{\mu }(u)={\gamma }_{\mu },\mu =1,2,\dots ,n,$

где $f_{\mu },f_{\mu ,\nu }$ — функции, непрерывные на отрезке $a\le x\le b$,

$U_{\mu }(u)=\sum _{k=1}^n[{\alpha }_{\mu ,k}{u}_k(a)+{\beta }_{\mu ,k}{u}_k(b)],$

матрица

$(\alpha ,\beta )=\left(\begin{array}{cccccc}{\alpha }_{1,1}& \dots & {\alpha }_{1,n}& {\beta }_{1,1}& \dots & {\beta }_{1,n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ {\alpha }_{n,1}& \dots & {\alpha }_{n,n}& {\beta }_{n,1}& \dots & {\beta }_{n,n}\end{array}\right)$

имеет ранг $n$, ${\gamma }_{\mu }$ — заданные числа.Шаблон:Sfn

Численные методы решения

Большинство численных методов решения краевых задач разработано для уравнений второго порядка.

• Метод стрельбы (пристрелки). Решается задача Коши, у которой одно из начальных условий совпадает с краевым условием, а второе зависит от параметра. Значение параметра подбирается так, чтобы решение удовлетворяло второму краевому условия. Для подбора параметра можно использовать, например, метод бисекции или метод Ньютона.Шаблон:Sfn
• Метод параллельной стрельбы. Является обобщением метода стрельбы.
• Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация уравнения и краевых условий и решается система линейных алгебраических уравнений.Шаблон:SfnШаблон:Sfn
• Вариационные методы (метод Ритца, метод Галёркина).Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn
• Метод интегральных уравнений. Краевая задача при помощи функции Грина заменяется интегральным уравнением, которое решается с помощью квадратурных формул. Шаблон:Sfn
• Метод суперпозиции. Решение краевой задачи находится как линейная комбинация решений нескольких задач Коши.Шаблон:Sfn
• Метод прогонки (не путать с методом прогонки для решения трёхдиагональных систем линейных алгебраических уравнений). Решение краевой задачи

$y^{″}=p(x)y+q(x),y^{\prime }(a)={\alpha }_{0}y(a)+{\alpha }_1,y^{\prime }(b)={\beta }_{0}y(b)+{\beta }_1$

удовлетворяет дифференциальному уравнению

$y^{\prime }(x)={\alpha }_0(x)y(x)+{\alpha }_1(x)(*)$,

где функции ${\alpha }_0(x),{\alpha }_1(x)$ находятся как решения задачи Коши

$\alpha {\text{'}}_0(x)+{\alpha }_0^2(x)=p(x),{\alpha }_0(a)={\alpha }_0,$

$\alpha {\text{'}}_1(x)+{\alpha }_0(x){\alpha }_1(x)=q(x),{\alpha }_1(a)={\alpha }_1.$

Затем $y(x)$ находится как решение уравнения (*) удовлетворяющее начальному условию $y^{\prime }(b)={\alpha }_0(b)y(b)+{\alpha }_1(b)$.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Применение

Задачи о продольных и крутильных колебаниях упругого стержня приводят к краевым задачам для уравнения второго порядка, задача о поперечных колебаниях стержня — к уравнению четвертого порядка.Шаблон:Sfn Решение уравнений в частных производных по методу Фурье приводит к задаче нахождения собственных значений и собственных функций краевой задачи, а также разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям.Шаблон:Sfn

Уравнения в частных производных

Обозначения

Пусть $G$ — ограниченная область в ${ℝ}^n$ с кусочно-гладкой границей $S$, $n$ — вектор нормали к границе $S$, направленный вовне области $G$, $\frac{\partial u}{\partial n}$ — производная по направлению нормали, $Q_{\mathrm{\infty }}=G\times (0,\mathrm{\infty })$. Функции $p,q,\alpha ,\beta ,\rho$ удовлетворяют условиям:

$p\in C^1(\overline{G}),q\in C(\overline{G}),p(x)>0,q(x)\ge 0,x\in G,$

$\alpha \in C(S),\beta \in C(S),\alpha (x)\ge 0,\beta (x)\ge 0,\alpha (x)+\beta (x)>0,x\in S,$

$\rho \in C(\overline{G}),\rho (x)>0,x\in \overline{G}.$

Здесь $\overline{G}=G\cup S$ — замыкание области $G$, $C(\overline{G})$ — множество функций, непрерывных в $\overline{G}$, $C^k(\overline{G})$ — множество функций, $k$ раз непрерывно дифференцируемых в $\overline{G}$.

Уравнения гиперболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения гиперболического типа — это задача нахождения функции $u(x,t)\in C^2(Q_{\mathrm{\infty }})\cap C^1({\overline{Q}}_{\mathrm{\infty }})$, удовлетворяющей уравнению

$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\text{div}(p\text{grad}u)-qu+F(x,t),(x,t)\in Q_{\mathrm{\infty }},$

начальным условиям

$u_{|t=0}=u_0(x),{\frac{\partial u}{\partial t}}_{|t=0}=u_1(x),x\in \overline{G},$

и граничному условию

$\alpha u+\beta \frac{\partial u}{\partial n}{|}_S=0.$

Для существования решения необходимо, чтобы выполнялись условия гладкости

$F\in C(Q_{\mathrm{\infty }}),u_0\in C^1(\overline{G}),u_1\in C(\overline{G})$

и условие согласованности

$\alpha u_0+\beta \frac{\partial u_0}{\partial n}=0$.

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от $u_0,u_1,F$.Шаблон:Sfn

Уравнения параболического типа

Смешанная (краевая) задача для уравнения параболического типа состоит в нахождении функции $u(x,t)\in C^2(Q_{\mathrm{\infty }})\cap C^1({\overline{Q}}_{\mathrm{\infty }}),{\text{grad}}_{x}u\in C({\overline{Q}}_{\mathrm{\infty }})$, удовлетворяющей уравнению

$\rho \frac{\partial u}{\partial t}=\text{div}(p\text{grad}u)-qu+F(x,t),(x,t)\in Q_{\mathrm{\infty }},$

начальному условию

$u_{t=0}=u_0(x),x\in \overline{G},$

и граничному условию

$\alpha u_0+\beta \frac{\partial u}{\partial n}=v(x,t),(x,t)\in S\times [0,\mathrm{\infty }).$

Для существования решения необходимы следующие условия гладкости

$F\in C(Q_{\mathrm{\infty }},u_0\in C(\overline{G}),v\in C(S\times [0,\mathrm{\infty })),$

и условие согласованности

$\alpha u_0+\beta \frac{\partial u_0}{\partial n}{|}_S=v(x,0).$

Решение смешанной задачи единственно и непрерывно зависит от $F,u_0,v$.Шаблон:Sfn

Уравнения эллиптического типа

Изучаются следующие краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа

$\mathrm{\Delta }u=0$.

Пусть область $G\in {ℝ}^3$ такова, что $G_1={ℝ}^3\mathrm{\setminus }G$.

• Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в области $G$ функцию $u\in C(\overline{G})$, принимающую на границе $S$ заданные (непрерывные) значения $u_0^{-}$.
• Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области $G_1$ функцию $u\in C({\overline{G}}_1)$, принимающую на $S$ заданные (непрерывные) значения $u_0^{+}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.
• Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области $G$ функцию $u\in C(\overline{G})$, имеющую на $S$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную $u_1^{-}$.
• Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области $G_1$ функцию $u\in C({\overline{G}}_1)$, имеющую на $S$ заданную (непрерывную) правильную нормальную производную $u_1^{+}$ и обращающуюся в нуль на бесконечности.

Аналогичные краевые задачи ставятся для уравнения Пуассона:

$\mathrm{\Delta }u=-f$.

Решение внутренней и внешней задач Дирихле единственно и непрерывно зависит от граничных данных. Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана единственно.Шаблон:Sfn

Методы решения

• Метод разделения переменныхШаблон:SfnШаблон:Sfn
• Метод распространяющихся волн (для уравнений гиперболического типа)Шаблон:Sfn
• Метод функции Грина (для уравнений эллиптического типа)Шаблон:Sfn
• Разностные методы.Шаблон:Sfn
• Вариационные методы.Шаблон:Sfn
• Метод конечных элементов.

См. также

• Задача Коши
• Начальные и граничные условия
• Задача Штурма-Лиувилля
• Функция Грина
• Волновое уравнение
• Гиперболическое уравнение
• Параболическое уравнение
• Эллиптическое уравнение
• Задача Дирихле
• Задача Неймана

Литература

Обыкновенные дифференциальные уравнения

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Уравнения в частных производных

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Численные методы

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга