Гиперболоидная модель

Красная дуга окружности является геодезической в дисковой модели Пуанкаре. Она проектируется на коричневую геодезическую на зелёном гиперболоиде.

Гиперболоидная модель, известная также как модель Минковского или лоренцева модель (Герман Минковский, Хендрик Лоренц), является моделью n-мерной геометрии Лобачевского, в которой каждая точка представлена точкой на верхней поверхности $S^{+}$ двуполостного гиперболоида в (n+1)-мерном пространстве Минковского а m-плоскости представлены пересечением (m+1)-плоскостей в пространстве Минковского с S⁺. Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. Гиперболоидная модель n-мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами — Клейна и дисковой моделью Пуанкаре, так как они являются проективными моделями в смысле, что Шаблон:Не переведено 5 является подгруппой проективной группы.

Квадратичная форма Минковского

Шаблон:Основная статья Если $(x_0,x_1,\dots ,x_n)$ являются векторами в Шаблон:Nowrap-мерном координатном пространстве ${ℝ}^{n+1}$, квадратичная форма Минковского определяется как

$Q(x_0,x_1,\dots ,x_n)=x_0^2-x_1^2-\dots -x_n^2.$

Вектора $v\in {ℝ}^{n+1}$, такие, что $Q(v)=1$, образуют n-мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент, или листов — верхний, или будущее, лист $S^{+}$, где $x_0>0$ и нижний, или прошлое, лист $S^{-}$, где $x_0<0$. Точки n-мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего $S^{+}$.

Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q,

$B(𝐮,𝐯)=(Q(𝐮+𝐯)-Q(𝐮)-Q(𝐯))/2.$

Или в явном виде,

$B((x_0,x_1,\dots ,x_n),(y_0,y_1,\dots ,y_n))=x_0{y}_0-x_1{y}_1-\dots -x_n{y}_n.$

Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства $S^{+}$ задаётся формулой $d(𝐮,𝐯)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(B(𝐮,𝐯))$,

где arch является обратной функцией гиперболического косинуса.

Прямые

Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n+1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с

$B(𝐮,𝐮)=1$

$B(𝐯,𝐯)=-1$

$B(𝐮,𝐯)=B(𝐯,𝐮)=0$

и используем w как параметр для точек на геодезической, то

$𝐮\mathrm{c}\mathrm{h}w+𝐯\mathrm{s}\mathrm{h}w$

будет точкой на геодезическойШаблон:Sfn.

Более обще, k-мерная «плоскость» в гиперболическом n-пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Движения

Неопределённая ортогональная группа O(1,n), называемая также (n+1)-мерной группой Лоренца, является группой Ли вещественных (n+1)×(n+1) матриц, которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n-мерном), и образуют четверную группу Клейна. Подгруппа O(1,n), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца, обозначаемой O⁺(1,n), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO⁺(1,n), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n(n+1)/2, которая действует на S⁺ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& & & \\ ⋮& & A& \\ 0& & & \end{array}\right)$

где $A$ принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO(n) (обобщающей группу вращений SO(3) для Шаблон:Nowrap). Отсюда следует, что n-мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,

${ℍ}^n={\mathrm{S}\mathrm{O}}^{+}(1,n)/\mathrm{S}\mathrm{O}(n).$

Группа SO⁺(1,n) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n-мерного гиперболического пространства.

История

• В нескольких статьях между 1878 и 1885 Вильгельм КиллингШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn использовал представление геометрии Лобачевского, которое он приписывает Карлу Вейерштрассу. В частности, он обсуждает квадратичные формы, такие как $k^2{t}^2+u^2+v^2+w^2=k^2$ или для произвольных размерностей $k^2{x}_0^2+x_1^2+\dots +x_n^2=k^2$, где $k$ является двойственной мерой кривизны, $k^2=\mathrm{\infty }$ означает евклидову геометрию, $k^2>0$ эллиптическую геометрию, а $k^2<0$ означает гиперболическую геометрию. Для подробностей см. Шаблон:Не переведено 5.
• Согласно Джереми Грею (1986)Шаблон:Sfn Пуанкаре использовал гиперболоидную модель в его персональных заметках в 1880. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881, в которых он обсуждает инвариантность квадратичной формы ${\xi }^2+{\eta }^2-{\zeta }^2=-1$Шаблон:Sfn. Грей показывает, где гиперболоидная модель явно упоминается в более поздних работах ПуанкареШаблон:Sfn. Для подробностей см. Шаблон:Не переведено 5.
• Также Хомершем Кокс в 1882Шаблон:SfnШаблон:Sfn использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению $z^2-x^2-y^2=1$, а также соотношению $w^2-x^2-y^2-z^2=1$. Для подробностей см. Шаблон:Не переведено 5.
• Далее модель использовали Альфред Клебш и Фердинанд фон Линдеман в 1891 при обсуждении соотношений $x_1^2+x_2^2-4k^2{x}_3^2=-4k^2$ и $x_1^2+x_2^2+x_3^2-4k^2{x}_4^2=-4k^2$Шаблон:Sfn. Для подробностей см. Шаблон:Не переведено 5.
• Координаты Вейерштрасса использовали также Шаблон:Не переведено 5.

Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ на ${ℝ}^n$, координаты Вейерштрасса точки $x\in {ℝ}^n$ равны

$(x,\sqrt{1+⟨x,x⟩})\in {ℝ}^{n+1},$

что можно сравнить с выражением

$(x,\sqrt{1-⟨x,x⟩})\in {ℝ}^{n+1}$

для модели полусферыШаблон:Sfn.

Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал Шаблон:Не переведено 5 в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

$\mathrm{s}\mathrm{h}A+\alpha \mathrm{s}\mathrm{h}A,$

где α является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил Шаблон:Не переведено 5 путём использования Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде»Шаблон:Sfn. В 1993 У. Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical MonthlyШаблон:Sfn.

Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского. Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности»Шаблон:Sfn упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу, а не к Вейерштрассу или Киллингу.

В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал Шаблон:Не переведено 5 для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты ВейерштрассаШаблон:Sfn.

См. также

• Конформно-евклидова модель
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья