Оператор углового момента

Шаблон:Физическая теория Опера́тор углово́го моме́нта — один из нескольких операторов в квантовой механике, выступающих аналогом классическому угловому моменту. Оператор углового момента играет центральную роль в атомной теории, молекулярной физике и других связанных с вращательной симметрией квантовых задачах. Этот оператор применяется для математического представления физического состояния системы и задаёт значение углового момента, если состояние имеет для него определённое значение. Как в классической, так и в квантовой механике угловой момент (вместе с линейным импульсом и энергией) является одним из трёх фундаментальных свойств движения.

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначается как J), орбитальный угловой момент (обычно обозначается как L) и спиновый угловой момент (для краткости спин, но обычно обозначается как S). Термин оператор углового момента может относиться либо к полному, либо к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется согласно теореме Нётер.

Обзор

«Векторные конусы» полного углового момента J (зелёный), орбитального L (синий) и спина S (красный). Конусы возникают из-за квантовой неопределённости между измеряемыми компонентами углового момента.

В квантовой механике угловой момент может относиться к одной из трёх связанных между собой величин.

Орбитальный угловой момент

Классическое определение углового момента: $𝐋=𝐫\times 𝐩.$ Квантово-механические аналоги этого определения имеют те же отношения

$𝐋=𝐫\times 𝐩,$

где r — квантовый оператор положения, p — квантовый оператор импульса, × обозначает векторное произведение, а L — оператор орбитального углового момента. L (точно так же, как p и r) является векторным оператором (вектором, компоненты которого являются операторами), то есть $𝐋=(L_x,L_y,L_z),$ где L_x, L_y, L_z — три различных квантово-механических оператора.

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор орбитального углового момента можно записать в координатном базисе в виде

$𝐋=-i\hslash (𝐫\times \mathrm{\nabla }),$

где Шаблон:Math — векторный дифференциальный оператор набла.

Спиновый угловой момент

Существует ещё один тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращается до спина), представленный спиновым оператором $𝐒=(S_x,S_y,S_z).$ Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это лишь метафора: ближайший классический аналог основан на циркуляции энергии в электронной волне. Все элементарные частицы имеют характерный спин (скалярные бозоны имеют нулевой спин). Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (ниже).

Полный угловой момент

Наконец, можно ввести полный угловой момент $𝐉=(J_x,J_y,J_z),$ который объединяет как спиновый, так и орбитальный угловые моменты частицы или системы

$𝐉=𝐋+𝐒.$

Сохранение углового момента утверждает, что J для замкнутой системы или J для всей Вселенной сохраняется. Однако вклады L и S обычно не сохраняются. Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться между L и S, сохраняя общее значение J постоянным.

Коммутационные соотношения

Коммутационные соотношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, что означает, что его можно записать в терминах его векторных компонентов. $𝐋=(L_x,L_y,L_z).$ Компоненты подчиняются между собой следующим коммутационным соотношениям

$[L_x,L_y]=i\hslash L_z,[L_y,L_z]=i\hslash L_x,[L_z,L_x]=i\hslash L_y,$где Шаблон:Math обозначает коммутатор.

$[X,Y]\equiv XY-YX.$

В общем случае это можно записать как

$[L_l,L_m]=i\hslash \sum _{n=1}^3{\epsilon }_{lmn}{L}_n,$где l, m, n — индексы компонент (1 для x, 2 для y, 3 для z), а Шаблон:Math обозначает символ Леви-Чивиты.

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения

$𝐋\times 𝐋=i\hslash 𝐋.$

Коммутационные соотношения можно доказать используя прямое следствие канонических коммутационных соотношений $[x_l,p_m]=i\hslash {\delta }_{lm},$ где Шаблон:Math — дельта Кронекера.

Аналогичное соотношение существует и в классической физике

$\{L_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k,$

где L_n — компонента классического оператора углового момента, а $\{,\}$ обозначает скобку Пуассона.

Те же коммутационные соотношения применяются для других операторов углового момента (спина и полного углового момента)

$[S_l,S_m]=i\hslash \sum _{n=1}^3{\epsilon }_{lmn}{S}_n,[J_l,J_m]=i\hslash \sum _{n=1}^3{\epsilon }_{lmn}{J}_n.$

Можно предположить, что они выполняются по аналогии с L. В качестве альтернативы они могут быть получены, как описано ниже.

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли, а Шаблон:Math являются её структурными константами. В этом случае алгеброй Ли является SU (2) или SO (3) в физических обозначениях ($\mathrm{su}(2)$ или $\mathrm{so}(3)$ соответственно в математической нотации), то есть алгебра Ли, связанная с вращениями в трёх измерениях. То же самое верно для J и S. Причина обсуждается ниже. Эти коммутационные соотношения относятся к измерению и неопределённости, как обсуждается далее.

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (колебательно-вращательного) углового момента N, спинового момента электрона S и ядерного спинового момента I. Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J, а не N. Как доказал Ван Флек, компоненты молекулярного ровибронного углового момента, относящиеся к неподвижным осям молекулы, имеют коммутационные соотношения, отличные от приведённых выше, которые относятся к компонентам, связанным с осями, закреплёнными в пространстве.

Коммутационные соотношения, включающие векторную величину

Как и любой вектор, квадрат величины можно определить для оператора орбитального углового момента

$L^2\equiv L_x^2+L_y^2+L_z^2.$$L^2$

 — ещё один квантовый оператор. Он коммутирует с компонентами $𝐋,$

$[L^2,L_x]=[L^2,L_y]=[L^2,L_z]=0.$

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, состоит в том, чтобы начать с коммутационных соотношений [ L_ℓ, L_m ] в предыдущем разделе:

Математически, $L^2$ является инвариантом Казимира алгебры Ли SO(3), натянутой на $𝐋$.

Как и выше, аналогичное соотношение выполняется в классической физике

$\{L^2,L_x\}=\{L^2,L_y\}=\{L^2,L_z\}=0,$

где $L_i$ — компонента классического оператора углового момента, и $\{,\}$ обозначает скобку Пуассона.

В квантовом случае, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спиновому и полному угловым моментам)

$\begin{array}{cc}[S^2,S_i]& =0,\\ [J^2,J_i]& =0.\end{array}$

Принцип неопределённости

В квантовой механике, когда две наблюдаемые не коммутируют, их называют дополнительными наблюдаемыми. Две взаимодополняющие наблюдаемые не могут быть измерены одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределённости. Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть определена другая в тот же момент времени. Точно так же, как существует принцип неопределённости, касающийся координаты и импульса, существуют принципы неопределённости для компонент углового момента.

Соотношение Робертсона — Шредингера даёт следующий принцип неопределённости

${\sigma }_{L_x}{\sigma }_{L_y}\ge \frac{\hslash }{2}|⟨L_z⟩|,$

где ${\sigma }_X$ — стандартное отклонение измеренных значений X и $⟨X⟩$ обозначает ожидаемая величина для X. Это неравенство также верно, если x, y, z переставить местами или если L заменить на J или S.

Следовательно, две ортогональные составляющие углового момента (например, L_x и L_y) являются дополнительными и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как $L_x=L_y=L_z=0.$

Однако возможно одновременное измерение или определение оператора L² и любой компоненты L; например, L² и L_z, что часто бывает полезно. Их значения характеризуются азимутальным квантовым числом (l) и магнитным квантовым числом (m). В этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным состоянием операторов L² и L_z, но не L_x или L_y. Собственные значения связаны с l и m, как показано в таблице ниже.

Квантование

В квантовой механике угловой момент квантуется — то есть он не может принимать производные значения, а только дискретные между определёнными допустимыми значениями. Для любой системы действуют следующие ограничения на результаты измерений, где $\hslash$ приведённая постоянная Планка:

Измеримая величина…	Принимаемые значения	Примечания
$L^2$	${\hslash }^2\ell (\ell +1)$, где $\ell =0,1,2,\dots$	$\ell$ называют азимутальным квантовым числом или орбитальным квантовым числом.
$L_z$	$\hslash m_{\ell }$, где $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\dots ,(\ell -1),\ell$	$m_{\ell }$ называют магнитным квантовым числом. Это же правило квантования справедливо для любого компонента $𝐋$; например, $L_{x}or{L}_y$. Это правило иногда называют «пространственным квантованием».
$S^2$	${\hslash }^{2}s(s+1)$, где $s=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\dots$	s называется спиновым квантовым числом или просто спином. Например, частице со спином ½ соответствует s = ½.
$S_z$	$\hslash m_s$, где $m_s=-s,(-s+1),\dots ,(s-1),s$	$m_s$ иногда называют «квантовым числом проекции спина». Это же правило квантования справедливо для любого компонента $𝐒$; например, $S_{x}or{S}_y$.
$J^2$	${\hslash }^{2}j(j+1)$, где $j=0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},\dots$	j называют квантовым числом полного углового момента.
$J_z$	$\hslash m_j$, где $m_j=-j,(-j+1),\dots ,(j-1),j$	$m_j$ называют квантовым числом проекции полного углового момента. Это же правило квантования справедливо для любого компонента $𝐉$; например, $J_{x}or{J}_y$.

В этой стоячей волне на круглой струне окружность разбита ровно на 8 длин волн. Подобная стоячая волна может иметь 0, 1, 2 или любое целое число длин волн распределённых по окружности, но не может иметь нецелое число длин волн, например 8,3. В квантовой механике угловой момент квантуется по той же причине.

Вывод с использованием лестничных операторов

Для вывода правил квантования, описанных выше, распространённым способом является метод лестничных операторов. Лестничные операторы для полного углового момента $𝐉=(J_x,J_y,J_z)$ определяются как

$\begin{array}{cc}{J}_{+}& \equiv J_x+i{J}_y,\\ J_{-}& \equiv J_x-i{J}_y.\end{array}$

Предполагая, что $|\psi ⟩$ является одновременным собственным состоянием операторов $J^2$ и $J_z$ (то есть состоянием с определённым значением $J^2$ и определённое значением $J_z$). Тогда, используя коммутационные соотношения для компонент $𝐉$, можно доказать, что каждое из состояний $J_{+}|\psi ⟩$ и $J_{-}|\psi ⟩$ является либо нулём, либо одновременным собственным состоянием $J^2$ и $J_z$, с тем же значением, что и $|\psi ⟩$ для $J^2$, но со значениями для $J_z$, которые увеличиваются или уменьшаются на $\hslash$ соответственно. Результат равен нулю, если в противном случае использование лестничного оператора привело бы к состоянию со значением для $J_z$, то есть вне допустимого диапазона значений. Таким образом, используя лестничные операторы, можно найти возможные значения и квантовые числа для операторов $J^2$ и $J_z$.   Шаблон:Hider Поскольку $𝐒$ и $𝐋$ подчиняется тем же коммутационным соотношениям, что и $𝐉$, то к ним можно применить тот же лестничный анализ, за исключением того, что для $𝐋$ существует ещё одно ограничение на квантовые числа: они должны быть целыми числами.

Визуальная интерпретация

Иллюстрация векторной модели для орбитального углового момента.

Операторы угловых моментов нельзя изобразить в виде векторов, как в классической механике. Тем не менее, принято эвристически изображать их следующим образом. Справа изображён набор состояний с квантовыми числами $\ell =2$, и $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2$ для пяти конусов снизу вверх. При $|L|=\sqrt{L^2}=\hslash \sqrt{6}$, все векторы показаны с длиной $\hslash \sqrt{6}$. Кольца означают, что $L_z$ известно точно, но $L_x$ и $L_y$ неизвестны; поэтому каждый классический вектор с соответствующей длиной и z-компонентой изображается в виде конуса. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии, характеризуемом квантовыми числами $\ell$ и $m_{\ell }$ может находиться где-то на этом конусе, в то время как для отдельной системы их нельзя определить (поскольку компоненты $L$ не пересекаются друг с другом).

Квантование в макроскопических системах

Считается, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако ожидаемый эффект чрезвычайно мал. Например, если $L_z/\hslash$ составляет примерно 100000000, по существу не имеет значения, является ли точное значение целым числом, например 100000000 или 100000001, или нецелым числом, например 100000000,2 — дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения.

Угловой момент как генератор вращений

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента как генератора вращения. Если обозначить оператором вращения как $R(\hat{n},\varphi )$, который вращает любое квантовое состояние вокруг оси $\hat{n}$ на угол $\varphi$, то при $\varphi \to 0$ оператор $R(\hat{n},\varphi )$ приближается к тождественному оператору, потому что поворот на 0° отображает все состояния в самих себя. Тогда оператор углового момента $J_{\hat{n}}$ вокруг оси $\hat{n}$ определяется как

$J_{\hat{n}}\equiv i\hslash \underset{\varphi \to 0}{\lim }\frac{R(\hat{n},\varphi )-1}{\varphi }={i\hslash \frac{\partial R(\hat{n},\varphi )}{\partial \varphi }|}_{\varphi =0},$

где 1 — тождественный оператор. Здесь R является аддитивным морфизмом: $R(\hat{n},{\varphi }_1+{\varphi }_2)=R(\hat{n},{\varphi }_1)R(\hat{n},{\varphi }_2)$; как следствие

$R(\hat{n},\varphi )=\exp (-\frac{i\varphi J_{\hat{n}}}{\hslash }),$

где exp — матричная экспонента.

Оператор полного углового момента характеризует, как квантовая система изменяется при её вращении. Связь между операторами углового момента и операторами вращения такая же, как связь между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Различные типы операторов вращения . Верхний прямоугольник показывает две частицы со спиновыми состояниями, схематически обозначенными стрелками. Шаблон:Ordered list

Точно так же, как J является генератором для операторов вращения, L и S являются генераторами для модифицированных операторов частичного вращения. Оператор

$R_{\text{spatial}}(\hat{n},\varphi )=\exp (-\frac{i\varphi L_{\hat{n}}}{\hslash })$

вращает положение (в координатном пространстве) всех частиц и полей, не вращая внутреннее (спиновое) состояние какой-либо частицы. Аналогично, оператор

$R_{\text{internal}}(\hat{n},\varphi )=\exp (-\frac{i\varphi S_{\hat{n}}}{\hslash })$

вращает внутреннее (спиновое) состояние всех частиц, не изменяя положение частиц или полей в пространстве. Соотношение J = L + S следует из

$R(\hat{n},\varphi )=R_{\text{internal}}(\hat{n},\varphi )R_{\text{spatial}}(\hat{n},\varphi ),$

то есть если координатная система повернута, а затем повёрнуты внутренние состояния, то в целом вся система также повёрнута.

SU(2), SO(3) и повороты на 360°

Хотя можно было бы ожидать $R(\hat{n},360^{\circ })=1$ (поворот на 360° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике, и оказывается, что это часто неверно: когда квантовое число полного углового момента является полуцелым (1/2, 3/2, и так далее), $R(\hat{n},360^{\circ })=-1$, а когда это целое число, $R(\hat{n},360^{\circ })=+1$. Математически структура вращений во Вселенной не является SO(3) группой трёхмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU(2), которая идентична SO(3) для небольших поворотов, но где поворот на 360° математически отличается от поворота на 0°. Поворот на 720° аналогичен повороту на 0°.

С другой стороны, $R_{\text{spatial}}(\hat{n},360^{\circ })=+1$ при любых обстоятельствах, потому что вращение пространственной конфигурации на 360° равносильно полному отсутствию вращения. Это отличается от вращения на 360° внутреннего (спинового) состояния частицы, которое может быть, а может и не совпадать с полным отсутствием вращения. Другими словами, $R_{\text{spatial}}$ операторы имеют структуру SO(3), а $R$ и $R_{\text{internal}}$ несут структуру SU(2).

Из уравнения $+1=R_{\text{spatial}}(\hat{z},360^{\circ })=\exp (-2\pi i{L}_z/\hslash )$, можно выбрать собственное состояние $L_z|\psi ⟩=m\hslash |\psi ⟩$ и соответственно

$e^{-2\pi im}=1,$

то есть квантовые числа орбитального углового момента могут принимать только целые, а не полуцелые значения.

Связь с теорией представлений

Начиная с определённого квантового состояния $|{\psi }_0⟩$, рассмотрим множество состояний $R(\hat{n},\varphi )|{\psi }_0⟩$ для всех возможных $\hat{n}$ и $\varphi$, то есть множество состояний, возникающих при вращении начального состояния всеми возможными способами. Линейные комбинации этого набора задают собой векторное пространство, и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, является представлением группы операторов вращения.

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они формируют представление группы Ли SU (2) (для R и R_internal) или SO (3) (для R_spatial).

Из связи между J и операторами вращения

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, они образуют представление алгебры Ли. $𝔰𝔲(2)$ или $𝔰𝔬(3)$.

Алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) идентичны.

Приведённый выше вывод на основе лестничных операторов — это метод классификации представлений алгебры Ли SU(2).

Связь с коммутационными соотношениями

Классические повороты не коммутируют друг с другом: например, поворот на 1° вокруг оси x, а затем на 1° вокруг оси y даёт несколько иной общий поворот, чем поворот на 1° вокруг оси y, а затем на 1° вокруг оси x. Тщательно анализируя эту некоммутативность, можно вывести коммутационные соотношения для операторов углового момента.

Сохранение углового момента

Гамильтониан H представляет собой энергию системы и определяет её динамику. В сферически-симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений

$RH{R}^{-1}=H,$

где R — оператор вращения. Как следствие, $[H,R]=0$, а потом $[H,𝐉]=\mathrm{𝟎}$ из-за соотношения между операторами J и R. По теореме Эренфеста следует, что J сохраняется.

Подводя итог, если H вращательно-инвариантен (сферически симметричен), то полный угловой момент J сохраняется, что следует из теоремы Нётер.

Если H является просто гамильтонианом для одной частицы, полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (то есть когда функция потенциальной энергии зависит только от $\left|𝐫\right|$). В качестве альтернативы H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда вращательно-инвариантен, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это является основанием для того, чтобы сказать, что сохранение углового момента является общим принципом физики.

Для частицы без спина J = L, поэтому орбитальный угловой момент сохраняется при тех же обстоятельствах. Когда спин отличен от нуля, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться от L к S и обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Взаимодействие угловых моментов

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, при спин-орбитальном взаимодействии угловой момент может передаваться между L и S, но сохраняется только полный угловой момент J = L + S. В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой угловой момент J₁ и J₂, но сохраняется только суммарный угловой момент J = J₁ + J₂.

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь, с одной стороны, между состояниями, в которых ${\left(J_1\right)}_z,{\left(J_1\right)}^2,{\left(J_2\right)}_z,{\left(J_2\right)}^2$ имеют определённые значения, а с другой стороны, состояниями, в которых ${\left(J_1\right)}^2,{\left(J_2\right)}^2,J^2,J_z$ имеют определённые значения, так как последние четыре обычно сохраняются (константы движения). Процедура перехода между этими базисами заключается в использовании коэффициентов Клебша — Гордана.

Из них следует одним из важных результатов, что связь между квантовыми числами для ${\left(J_1\right)}^2,{\left(J_2\right)}^2,J^2$ задаётся в виде

$j\in \{|j_1-j_2|,(|j_1-j_2|+1),\dots ,(j_1+j_2)\}.$

Для атома или молекулы с J = L + S спектральный терм даёт квантовые числа, связанные с операторами $L^2,S^2,J^2$.

Орбитальный угловой момент в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со сферической симметрией в сферических координатах. Угловой момент в пространственном представлении равен

$\begin{array}{cc}𝐋& =i\hslash (\frac{\hat{\mathit{\theta }}}{\sin (\theta )}\frac{\partial }{\partial \varphi }-\hat{\mathit{\varphi }}\frac{\partial }{\partial \theta })\\ & =i\hslash (\widehat{𝐱}(\sin (\varphi )\frac{\partial }{\partial \theta }+\cot (\theta )\cos (\varphi )\frac{\partial }{\partial \varphi })+\widehat{𝐲}(-\cos (\varphi )\frac{\partial }{\partial \theta }+\cot (\theta )\sin (\varphi )\frac{\partial }{\partial \varphi })-\widehat{𝐳}\frac{\partial }{\partial \varphi })\\ L_{+}& =\hslash e^{i\varphi }(\frac{\partial }{\partial \theta }+i\cot (\theta )\frac{\partial }{\partial \varphi }),\\ L_{-}& =\hslash e^{-i\varphi }(-\frac{\partial }{\partial \theta }+i\cot (\theta )\frac{\partial }{\partial \varphi }),\\ L^2& =-{\hslash }^2(\frac{1}{\sin (\theta )}\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin (\theta )\frac{\partial }{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2(\theta )}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}),\\ L_z& =-i\hslash \frac{\partial }{\partial \varphi }.\end{array}$

В сферических координатах угловую часть оператора Лапласа можно выразить угловым моментом. Это приводит к соотношению

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)-\frac{L^2}{{\hslash }^2{r}^2}.$При решении найти собственные состояния оператора $L^2$, получается следующее выражение

$\begin{array}{cc}{L}^2|l,m⟩& ={\hslash }^{2}l(l+1)|l,m⟩,\\ L_z|l,m⟩& =\hslash m|l,m⟩,\end{array}$

где

$⟨\theta ,\varphi |l,m⟩=Y_{l,m}(\theta ,\varphi )$- сферические гармоники.

Литература

• Шаблон:Книга