Спектральная мера

Спектральная мера - это отображение, определённое на $\sigma$-алгебре подмножеств заданного множества, значения которого являются ортогональными проекторами в гильбертовом пространстве.

Определение

Пусть $(X,M)$ — измеримое пространство, $H$ — гильбертово пространство, $𝒫=𝒫(H)$ — множество всех ортогональных проекторов в $H$.

Отображение $E:M⟶𝒫$ называется спектральной мерой, если удовлетворяет следующим условиям:

1. Счетная аддитивность: если $\{{\delta }_n\}$ - конечный или счётный набор попарно непересекающихся множеств $\{{\delta }_n\}\in M$ и $\delta =\bigcup _n{\delta }_n$, то $E(\delta )=s$-$\sum _{n}E({\delta }_n)$
2. Полнота: $E(X)=I$

Здесь под $s$-$\lim$ и $s$-$\sum$ понимается предел (соотв. сумма ряда) относительно сильной операторной топологии. Например, $T=s$-$\lim T_n$ означает, что $Tx=\lim T_{n}x$ $\mathrm{\forall }x\in H$. Для обозначения равномерной операторной сходимости (т.е. сходимости по операторной норме) мы пишем $u$-$\lim$.

С каждой спектральной мерой $E$ можно связать скалярные меры $E_{x,y}$, $x,y\in H$. По определению $E_{x,y}(A)=⟨E(A)x,y⟩$. Легко видеть, что мера $E_{x,x}$ положительна для любого $x\in H$.

Свойства спектральной меры

$\{{\delta }_n\},n=1,2,...$, - последовательность измеримых множеств.

1. Коммутативность: $E({\delta }_1)E({\delta }_2)=E({\delta }_2)E({\delta }_1)=E({\delta }_1\cap {\delta }_2)$.
2. Ортогональность: если ${\delta }_1\cap {\delta }_2=\varnothing$, то $E({\delta }_1)E({\delta }_2)=0$.
3. Монотонность: если ${\delta }_1\subset {\delta }_2$, то $E({\delta }_1)⩽E({\delta }_2)$.
4. Если последовательность $\{{\delta }_n\}$ - расширяющаяся, то $s$-$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }E({\delta }_n)=E(\bigcup _n{\delta }_n)$.
5. Если последовательность $\{{\delta }_n\}$ - вложенная, то $s$-$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }E({\delta }_n)=E(\bigcap _n{\delta }_n)$.

Интеграл по спектральной мере

Пусть $(X,M,H,E)$ - пространство со спектральной мерой.

Случай ограниченной функции

$\mathrm{\Pi }=\mathrm{\Pi }(X,E)$ - множество всех $E$-измеримых простых функций на $X$.

${\delta }_1,...,{\delta }_n$ - разложение пространства $X$ на непересекающиеся подмножества, на которых функция $\phi \in \mathrm{\Pi }$ постоянна и $c_k$ - значение функции $\phi$ на ${\delta }_k$.

Интегралом от функции $\phi \in \mathrm{\Pi }$ по спектральной мере $E$ называется оператор $J_{\phi }=\int \phi dE=\sum _{k⩽n}{c}_{k}E({\delta }_k)$.

Свойства:

1. $⟨J_{\phi }(x),y⟩=\int \phi d{E}_{x,y}$ для любых $x,y\in H$. Этим свойством оператор $J_{\phi }$ определяется однозначно.
2. $J_{\alpha \phi +\beta \psi }=\alpha J_{\phi }+\beta J_{\psi }$.
3. $J_{\phi \psi }=J_{\phi }{J}_{\psi }=J_{\psi }{J}_{\phi }$.
4. $(J_{\phi }{)}^{*}=J_{\bar{\phi }}$.
5. $J_1=I$.
6. $||J_{\phi }||=E$-$sup|\phi |$.

$L_{\mathrm{\infty }}(X,E)$ - множество всех $E$-измеримых, $E$-ограниченных комплексных функций на $X$. Продолжим отображение $\mathbf{\text{J}}\phi =J_{\phi }$ с нормированной алгебры $\mathrm{\Pi }(X,E)$ на всей банаховой алгебры $L_{\mathrm{\infty }}(X,E)$.

Интегралом от функции $\phi \in L_{\mathrm{\infty }}(X,E)$ по спектральной мере $E$ называется значение продолженного отображения $\mathbf{\text{J}}$ на функции $\phi :J_{\phi }=\int \phi dE=u$-$\lim J_{{\phi }_n}$, где $\{{\phi }_n\}$ - произвольная последовательность простых функций, сходящаяся к $\phi$ по норме в $L_{\mathrm{\infty }}(X,E)$.

Теорема. Отображение $\mathbf{\text{J}}$ есть изометрический изоморфизм банаховой алгебры $L_{\mathrm{\infty }}(X,E)$ с единицей $\mathbf{\text{1}}$ и инволюцией $\phi ⟶\overline{\phi }$ на некоторую коммутативную подалгебру алгебры $\mathbf{\text{B}}(H)$ с единицей $I$ и инволюцией $T⟶T^{*}$.

Следствия:

1. Оператор $J_{\phi }$ нормален.
2. Оператор $J_{\phi }$ самосопряжен $\iff$ $E$-п.в. функция $\phi$ вещественна.
3. Оператор $J_{\phi }$ унитарен$\iff$ $E$-п.в. функция $|\phi (y)|=1$.

Для интеграла по спектральной мере имеет место аналог теоремы Лебега о мажорированной сходимости:

Теорема. Пусть последовательность $E$-ограниченных функций $f_n$ почти всюду сходится к функции $f$. Если найдется такая константа $C>0$, что $|f_n|\le C$ почти всюду для любого $n$, то $\int fdE=s\text{-}\lim \int f_{n}dE$.

Случай неограниченной функции

$S(X,E)$ - пространство всех $E$-измеримых, $E$-п.в. конечных функций на $X$.

Каждой функции $\phi \in S(X,E)$ и каждому $n\in \mathbb{N}$ сопоставим срезку ${\phi }_{(n)}$, определенную как ${\chi }_A\phi$, где ${\chi }_A$ - характеристическая функция множества $A=\{x\in X:|\varphi (x)|\le n\}$. Интегралом от $\phi \in S(X,E)$ по спектральной мере $E$ назовем оператор $J_{\phi }=\int \phi dE$, определенный как предел последовательности $\int {\phi }_{(n)}dE$. Более точно, областью определения оператора $J_{\phi }$ служит множество таких $x\in H$, что последовательность $J_{{\phi }_{(n)}}(x)$ сходится, а значением - предел этой последовательности.

Имеется эквивалентное определение: в качестве области определения оператора $J_{\phi }$ положим множество $D_{\phi }\subset H,D_{\phi }=\{f\in H:\int |\phi {|}^{2}d{\mu }_f<\mathrm{\infty }\}$. Для каждого $x\in D_{\phi }$ найдется единственный $y\in H$ удовлетворяющий равенству $⟨y,z⟩=\int \phi d{E}_{x,z}$ для всех $z\in H$, который по определению служит значением $J_{\phi }(x)$.

Свойства:

1. $D(\alpha J_{\phi }+\beta J_{\psi })=D_{\phi }\cap D_{\psi }$.
2. $\alpha J_{\phi }+\beta J_{\psi }\subset J_{\alpha \phi +\beta \psi }$.
3. $D(J_{\phi }{J}_{\psi })=D_{\phi \psi }\cap D_{\psi }$.
4. $J_{\phi }{J}_{\psi }\subset J_{\phi \psi }$.
5. $D(J_{\phi }^{*})=D_{\phi }$.
6. $J_{\phi }^{*}=J_{\bar{\phi }}$.
7. Оператор $J_{\phi }$ замкнут и нормален.
8. $\overline{\alpha J_{\phi }+\beta J_{\psi }}=J_{\alpha \phi +\beta \psi }$.
9. $\overline{J_{\phi }{J}_{\psi }}=\overline{J_{\psi }{J}_{\phi }}=J_{\phi \psi }$.

Спектральная теорема фон Неймана

Спектральная теорема для унитарного оператора

Теорема. Пусть $V$ - унитарный оператор в $H$, тогда существует единственная спектральная мера $F=F_V$ в $H$, определенная на борелевских подмножествах единичной окружности $𝕋$ такая, что $V=\underset{𝕋}{\int }zdF(z)$.

Спектральная теорема для самосопряжённого оператора

Теорема. Пусть $A$ - самосопряженный оператор в $H$, тогда существует единственная спектральная мера $E=E_A$ в $H$, определённая на борелевских подмножествах в $ℝ$ такая, что $A=\underset{ℝ}{\int }sdE(s)$.

Спектральная теорема для нормального оператора

Теорема. Пусть $T$ - нормальный оператор в $H$, тогда существует единственная спектральная мера $E=E_T$ в $H$, определенная на борелевских подмножествах в $ℂ$ такая, что $T=\underset{ℂ}{\int }zdE(z)$.

Применения к эволюционным уравнениям в гильбертовом пространстве

• Уравнение Шредингера: $\frac{du}{dt}+iAu=0$ с начальным условием $u(0)=f$, где $A$ - самосопряженный оператор. Решением будет $u(t)=U(t)f$, где $U(t)=e^{-iAt}=\int e^{-ist}dE(s)$, $E=E_A$ - спектральная мера оператора $A$.
• Параболическое уравнение: $\frac{du}{dt}+Au=0$ с начальным условием $u(0)=f$, где $A$ - самосопряженный положительный оператор. Решением будет $u(t)=T(t)f$, где $T(t)=e^{-At}=\int e^{-st}dE(s)$, $E=E_A$ - спектральная мера оператора $A$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Спектральная теорема