Сфера

Сфера (каркасная проекция)

Сфера и её радиус (r) на поверхности шара

Сфе́ра (Шаблон:Lang-grc «мяч, шар») — фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данное расстояние.

Данная точка называется «центром сферы». Данное расстояние называется «радиусом сферы». Сфера радиуса 1 называется «единичной сферой». «Радиусом сферы» называется также отрезок, соединяющий центр сферы и какую-нибудь её точку. Радиус в геометрии и математике обозначается как „r“. «Хордой сферы» называется отрезок, соединяющий произвольные две точки этой сферы. «Диаметром сферы» называется прямая, проходящая через центр сферы и соединяющая две точки (на поверхности). Диаметр обозначается как „D“.

Сфера является трёхмерным пространственным аналогом окружности.

Сферическая постоянная — величина, характеризующая сферу и её составные части и вспомогательные переменные составляющие (хорда, радиус, центр, диаметр) в пространстве. Вычисляется по формуле.

Свойства

• Сфера является поверхностью вращения, образованной вращением полуокружности вокруг своего диаметра.
• Сфера является геометрическим местом точек в пространстве, равноудалённых от данной точки.
• Сфера является частным случаем эллипсоида, у которого все три оси (полуоси, радиусы) равны.
• Сфера является поверхностью шара.
• Сфера имеет наименьшую площадь из всех поверхностей, ограничивающих данный объём, другими словами — из всех поверхностей с данной площадью сфера ограничивает наибольший объём. Именно из-за минимизации площади поверхности силой поверхностного натяжения маленькие капли воды в невесомости приобретают сферическую форму.

«Кубок Кеплера»: модель Солнечной системы из пяти правильных многогранников и их вписанных и описанных сфер.

Значение в естествознании

Совершенство сферической формы издавна привлекало внимание мыслителей и учёных, которые с помощью сфер пытались объяснить гармонию окружающего мира. Древнегреческий учёный Пифагор вместе с шарообразной Землёй в центре Вселенной ввёл окружающую Землю удалённую хрустальную сферу, к которой прикреплены звёзды, и семь более близких вращающихся хрустальных сфер, к которым прикреплены Солнце, Луна и пять известных к тому времени планет (исключая Землю). Эта модель впоследствии усложнялась: Евдокс Книдский рассматривал уже 27 подобных сфер, а Аристотель — 55 хрустальных сфер. Представления о вращающихся небесных сферах господствовали по крайней мере до средних веков и даже вошли в гелиоцентрическую систему мира Николая Коперника, который назвал свой основной труд «О вращении небесных сфер» (Шаблон:Lang-la).

Небесные сферы со времён Древней Греции были частью более общей концепции гармонии сфер о музыкально-астрономическом устройстве мира, куда также входило понятие «музыка сфер». Эта концепция также существовала по крайней мере до Средневековья. У одного из известнейших астрономов, Иоганна Кеплера, сфера занимала центральное место во всей его системе религиозно-мистических представлений, он писал: «Образ триединого бога есть сферическая поверхность, а именно: бог-отец в центре, бог-сын — на поверхности и святой дух — в симметричном отношении между центром и описанной вокруг него сферической поверхностью». Одно из первых значительных сочинений Кеплера, «Тайна мироздания» (Шаблон:Lang-la), было посвящено параметрам небесных сфер. Он считал, что он открыл замечательную связь между правильными многогранниками, которых только пять, и небесными сферами шести известных к тому времени планет (включая Землю), являвшимися, по Кеплеру, описанными и вписанными сферами этих многогранников. Представления о гармонии сфер сыграли большую роль при открытии Кеплером третьего закона движений небесных тел (во всяком случае, могут рассматриваться как стимул к поиску астрономических соотношений). Тем не менее у Кеплера небесные сферы являлись уже чисто математическими объектами, а не физически существующими телами. К тому времени Тихо Браге доказал, что движение комет — в частности, Большой кометы 1577 года — несовместимо с существованием твёрдых небесных сфер. Как удобная математическая модель осталась одна небесная сфера, с помощью которой астрономы по сей день представляют видимые положения звезд и планет.

Изображение сферы

Файл:Сфера 1.png

На рисунке изображена ортогональная проекция сферы, полученная в программе GeoGebra.

Для изображения многогранников используется параллельное проектирование, а для изображения сферы оно не подходит, поскольку не вполне отвечает зрительному восприятию сферических объектов. Дело в том, что параллельная проекция сферы на плоскость представляет собой фигуру, получающаяся растяжением или сжатием окружности в каком-либо направлении и называемую «эллипсом». Ясно, что такое изображение не является наглядным. Такие проекции дают солнечные тени круглых предметов, если Солнце расположено низко над горизонтом.

Файл:Сфера 2.png

Ортогональная проекция сферы с экватором, полученная в программе GeoGebra.

Более подходящим проектированием для изображения сферы и других круглых тел является ортогональное проектирование — параллельное проектирование в направлении прямой, перпендикулярной плоскости проектирования (плоскости изображения).

Файл:Сфера 3.png

Неправильное изображение полюсов.

Можно доказать, что ортогональной проекцией сферы является круг, радиус которого равен радиусу сферы. Возникает вопрос: почему не окружность? Объясняется это тем, что окружность есть изображение сечения сферы плоскостью, параллельной плоскости проецирования и проходящей через центр сферы; а точки сферы, не принадлежащие плоскости сечения, проектируются в точки, лежащие внутри указанной окружности, поэтому точки сферы проектируются в точки круга того же радиуса. Граница этого круга есть окружность, которая называется «контурной».

Файл:Сфера 4.png

Правильное изображение полюсов, полученное в программе GeoGebra.

Файл:Сфера 5.png

На рисунке показано изображение сферы с параллелями, меридианами и полюсами, полученное в программе GeoGebra.

Тем не менее такое изображение требованию наглядности удовлетворено не полностью. Для того, чтобы сделать его более наглядным, на сфере выделяют большую окружность (экватор) — сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр; а также ось сферы — прямую, проходящую через центр сферы и перпендикулярно плоскости большой окружности. Точки пересечения сферы с её осью называются «полюсами сферы» (различают северный и южный полюса). Другими словами, полюсы — концы диаметра, перпендикулярного плоскости большой окружности. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскости экватора — параллелями, а большие окружности, проходящие через полюсы — меридианами.

Сфера в трёхмерном пространстве

Уравнение сферы в прямоугольной системе координат:

$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2,$

где $(x_0,y_0,z_0)$ — координаты центра сферы, $R$ — её радиус.

Параметрическое уравнение сферы с центром в точке $(x_0,y_0,z_0)$:

$\{\begin{array}{c}x=x_0+R\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi ,\\ y=y_0+R\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi ,\\ z=z_0+R\cdot \cos \theta ,\end{array}$

где $\theta \in [0,\pi ]$ и $\varphi \in [0,2\pi ).$

Гауссова кривизна сферы постоянна и равна 1/R².

Координаты сферы, проходящей через заданные точки

Через четыре точки пространства $M_1(x_1,y_1,z_1);M_2(x_2,y_2,z_2);M_3(x_3,y_3,z_3);M_4(x_4,y_4,z_4)$ может проходить единственная сфера с центром

$x_0=\frac{1}{2}\cdot \frac{A_x-B_x+C_x-D_x}{U+V+W}$

$y_0=\frac{1}{2}\cdot \frac{A_y-B_y+C_y-D_y}{U+V+W}$

$z_0=\frac{1}{2}\cdot \frac{A_z-B_z+C_z-D_z}{U+V+W}$

где:

$U=(z_1-z_2)(x_3{y}_4-x_4{y}_3)-(z_2-z_3)(x_4{y}_1-x_1{y}_4)$

$V=(z_3-z_4)(x_1{y}_2-x_2{y}_1)-(z_4-z_1)(x_2{y}_3-x_3{y}_2)$

$W=(z_1-z_3)(x_4{y}_2-x_2{y}_4)-(z_2-z_4)(x_1{y}_3-x_3{y}_1)$

$A_x=(x_1^2+y_1^2+z_1^2)[y_2(z_3-z_4)+y_3(z_4-z_2)+y_4(z_2-z_3)]$

$B_x=(x_2^2+y_2^2+z_2^2)[y_3(z_4-z_1)+y_4(z_1-z_3)+y_1(z_3-z_4)]$

$C_x=(x_3^2+y_3^2+z_3^2)[y_4(z_1-z_2)+y_1(z_2-z_4)+y_2(z_4-z_1)]$

$D_x=(x_4^2+y_4^2+z_4^2)[y_1(z_2-z_3)+y_2(z_3-z_1)+y_3(z_1-z_2)]$

$A_y=(x_1^2+y_1^2+z_1^2)[z_2(x_3-x_4)+z_3(x_4-x_2)+z_4(x_2-x_3)]$

$B_y=(x_2^2+y_2^2+z_2^2)[z_3(x_4-x_1)+z_4(x_1-x_3)+z_1(x_3-x_4)]$

$C_y=(x_3^2+y_3^2+z_3^2)[z_4(x_1-x_2)+z_1(x_2-x_4)+z_2(x_4-x_1)]$

$D_y=(x_4^2+y_4^2+z_4^2)[z_1(x_2-x_3)+z_2(x_3-x_1)+z_3(x_1-x_2)]$

$A_z=(x_1^2+y_1^2+z_1^2)[x_2(y_3-y_4)+x_3(y_4-y_2)+x_4(y_2-y_3)]$

$B_z=(x_2^2+y_2^2+z_2^2)[x_3(y_4-y_1)+x_4(y_1-y_3)+x_1(y_3-y_4)]$

$C_z=(x_3^2+y_3^2+z_3^2)[x_4(y_1-y_2)+x_1(y_2-y_4)+x_2(y_4-y_1)]$

$D_z=(x_4^2+y_4^2+z_4^2)[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)]$

Радиус данной сферы:

$R=\sqrt{(x_1-x_0{)}^2+(y_1-y_0{)}^2+(z_1-z_0{)}^2}$

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности сферы

$S=4\pi r^2=\pi d^2$

Полный телесный угол сферы

$\mathrm{\Omega }=4\pi$ стерадиан $\approx 41253$ кв. градусов.

Объём шара, ограниченного сферой

$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{\pi }{6}{d}^3.$

Площадь сегмента сферы высоты $H$

$S=2\pi rH$.

Геометрия на сфере

Окружность, лежащая на сфере, плоскость которой проходит через центр сферы, называется «большим кругом (большой окружностью)» сферы. Большие окружности являются геодезическими линиями на сфере; любые две из них пересекаются в двух точках. Иными словами, большие круги сферы являются аналогами прямых на плоскости, расстояние между точками на сфере — длина дуги проходящего через них большого круга. Углу же между прямыми на плоскости соответствует двугранный угол между плоскостями больших кругов. Многие теоремы геометрии на плоскости справедливы и в сферической геометрии, существуют аналоги теоремы синусов, теоремы косинусов для сферических треугольников. В то же время, существует немало отличий, например, в сферическом треугольнике сумма углов всегда больше 180 градусов, к трём признакам равенства треугольников добавляется их равенство по трём углам, у сферического треугольника может быть два и даже три прямых угла — например, у сферического треугольника, образованного экватором и меридианами 0° и 90°.

Расстояние между двумя точками на сфере

Если даны сферические координаты двух точек, то расстояние между ними можно найти так:

$L=R\cdot \arccos (\cos {\theta }_1\cdot \cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cdot \sin {\theta }_2\cdot \cos ({\varphi }_1-{\varphi }_2)).$

Однако, если угол $\theta$ задан не между осью Z и вектором на точку сферы, а между этим вектором и плоскостью XY (как это принято в земных координатах, заданных широтой и долготой), то формула будет такая:

$L=R\cdot \arccos (\sin {\theta }_1\cdot \sin {\theta }_2+\cos {\theta }_1\cdot \cos {\theta }_2\cdot \cos ({\varphi }_1-{\varphi }_2)).$

В этом случае ${\theta }_1$ и ${\theta }_2$ называются широтами, а ${\varphi }_1$ и ${\varphi }_2$ долготами.

n-мерная сфера

В общем случае уравнение (n−1)-мерной сферы (в n-мерном евклидовом пространстве) имеет вид:

$\sum _{i=1}^n(x_i-a_i{)}^2=r^2,$

где $(a_1,...,a_n)$ — центр сферы, а $r$ — радиус.

Пересечением двух n-мерных сфер является (n−1)-мерная сфера, лежащая на радикальной гиперплоскости этих сфер.

В n-мерном пространстве могут попарно касаться друг друга (в разных точках) не более n+1 сфер.

n-мерная инверсия переводит (n−1)-мерную сферу в (n−1)-мерную сферу или гиперплоскость.

С трёхмерной сферой связана одна из задач тысячелетия — гипотеза Пуанкаре, в которой утверждается, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно такой сфере. Эта гипотеза была доказана Г. Я. Перельманом в начале 2000-х годов на основе результатов Ричарда Гамильтона.

См. также

• Сфера Римана
• Псевдосфера
• Дикая сфера
• Гиперсфера
• Парадокс Смейла
• Сферическая система координат
• Сферический слой
• Геосфера

Литература

• Шаблон:ВТ-ТСД2
• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ