Вписанные и вневписанные в треугольник окружности

Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (J_A,J_B,J_C), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и Шаблон:Не переведено 5. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного Шаблон:Не переведено 5 и биссектрис двух других Шаблон:Не переведено 5. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют Шаблон:Не переведено 5.

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника.

Вписанная окружность

Пусть $\mathrm{△}ABC$ имеет вписанную окружность радиуса r с центром I. Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB. Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда $\mathrm{\angle }A{C}^{\prime }I$ является прямым. Тогда радиус C’I будет высотой треугольника $\mathrm{△}IAB$. Таким образом, $\mathrm{△}IAB$ имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна $\frac{1}{2}cr$. Подобным же образом $\mathrm{△}IAC$ имеет площадь $\frac{1}{2}br$ и $\mathrm{△}IBC$ имеет площадь $\frac{1}{2}ar$. Поскольку эти три треугольника разбивают $\mathrm{△}ABC$, получаем, что

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{2}(a+b+c)r=pr,$

где $\mathrm{\Delta }$ — площадь $\mathrm{△}ABC$, а $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим $\mathrm{△}I{C}^{\prime }A$. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен $r\cdot \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\angle }A}{2}$. То же самое верно для $\mathrm{△}I{B}^{\prime }A$. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

$\mathrm{\Delta }=r^2\cdot (\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\angle }A}{2}+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\angle }B}{2}+\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\angle }C}{2})$

Вневписанные окружности

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен $r_c$, а её центр — $I_c$. Тогда $I_{c}G$ является высотой треугольника $\mathrm{△}AC{I}_c$, так что $\mathrm{△}AC{I}_c$ имеет площадь $\frac{1}{2}b{r}_c$. По тем же причинам $\mathrm{△}BC{I}_c$ имеет площадь $\frac{1}{2}a{r}_c$, а $\mathrm{△}AB{I}_c$ имеет площадь $\frac{1}{2}c{r}_c$. Тогда

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{2}(a+b-c)r_c=(p-c)r_c$.

Таким образом, ввиду симметрии,

$\mathrm{\Delta }=pr=(p-a)r_a=(p-b)r_b=(p-c)r_c$.

По теореме косинусов получаем

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

Комбинируя это с тождеством ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$, получим

$\sin A=\frac{\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2a^2{c}^2}}{2bc}$

Но $\mathrm{\Delta }=\frac{1}{2}bc\sin A$, так что

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }& =\frac{1}{4}\sqrt{-a^4-b^4-c^4+2a^2{b}^2+2b^2{c}^2+2a^2{c}^2}\\ & =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\\ & =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\end{array}$

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с $pr=\mathrm{\Delta }$, получим

$r^2=\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{p^2}=\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}$.

Аналогично, $(p-a)r_a=\mathrm{\Delta }$ даёт

$r_a^2=\frac{p(p-b)(p-c)}{p-a}$.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:

$\mathrm{\Delta }=\sqrt{r{r}_a{r}_b{r}_c}.$

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно $\frac{\pi }{3\sqrt{3}}$, и равенство достигается только на правильных треугольниках.

Связанные построения

Окружность девяти точек и точка Фейербаха

• Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек.

• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них - точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник и точка Жергонна

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔT_aT_bT_c) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T_A, и т. д.. Точка T_A лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого Шаблон:Не переведено 5 с выколотым центром.

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

• вершина $A=0:{\sec }^2\left(\frac{B}{2}\right):{\sec }^2\left(\frac{C}{2}\right)$
• вершина $B={\sec }^2\left(\frac{A}{2}\right):0:{\sec }^2\left(\frac{C}{2}\right)$
• вершина $C={\sec }^2\left(\frac{A}{2}\right):{\sec }^2\left(\frac{B}{2}\right):0$

Трилинейные координаты точки Жергонна

${\sec }^2\left(\frac{A}{2}\right):{\sec }^2\left(\frac{B}{2}\right):{\sec }^2\left(\frac{C}{2}\right)$,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

$\frac{bc}{b+c-a}:\frac{ca}{c+a-b}:\frac{ab}{a+b-c}$.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами T_A, T_B и T_C, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка X_A противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника T_AT_BT_C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые AT_A, BT_B и CT_C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

• вершина $A=0:{\csc }^2\left(\frac{B}{2}\right):{\csc }^2\left(\frac{C}{2}\right)$
• вершина $B={\csc }^2\left(\frac{A}{2}\right):0:{\csc }^2\left(\frac{C}{2}\right)$
• вершина $C={\csc }^2\left(\frac{A}{2}\right):{\csc }^2\left(\frac{B}{2}\right):0$

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

${\csc }^2\left(\frac{A}{2}\right):{\csc }^2\left(\frac{B}{2}\right):{\csc }^2\left(\frac{C}{2}\right)$,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

$\frac{b+c-a}{a}:\frac{c+a-b}{b}:\frac{a+b-c}{c}$.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

• вершина $A=0:1:1$
• вершина $B=1:0:1$
• вершина $C=1:1:0$

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

• вершина $A=-1:1:1$
• вершина $B=1:-1:1$
• вершина $C=1:-1:-1$

Уравнения окружностей

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos²(A/2), v = cos²(B/2), w = cos²(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов:

• Вписанная окружность:

$u^2{x}^2+v^2{y}^2+w^2{z}^2-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0$

$\pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm \sqrt{z}\cos \frac{C}{2}=0$

• A-внешневписанная:

$u^2{x}^2+v^2{y}^2+w^2{z}^2-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0$

$\pm \sqrt{-x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm \sqrt{z}\cos \frac{C}{2}=0$

• B-внешневписанная:

$u^2{x}^2+v^2{y}^2+w^2{z}^2+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0$

$\pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{-y}\cos \frac{B}{2}\pm \sqrt{z}\cos \frac{C}{2}=0$

• C-внешневписанная:

$u^2{x}^2+v^2{y}^2+w^2{z}^2+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0$

$\pm \sqrt{x}\cos \frac{A}{2}\pm \sqrt{y}\cos \frac{B}{2}\pm \sqrt{-z}\cos \frac{C}{2}=0$

Другие свойства вписанной окружности

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности

• $r=\frac{p-a}{\mathrm{ctg}(\alpha /2)}=\frac{p-b}{\mathrm{ctg}(\beta /2)}=\frac{p-c}{\mathrm{ctg}(\gamma /2)}$, $p$ — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника.

• Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника.

• Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус

$r=\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}$

и площадь треугольника равна

$K=\sqrt{xyz(x+y+z)}.$

• Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть h_a, h_b и h_c, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть

$r=\frac{1}{h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1}}.$

• Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равно

$rR=\frac{abc}{2(a+b+c)}.$

• Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей:

$ab+bc+ca=s^2+(4R+r)r,$

$a^2+b^2+c^2=2s^2-2(4R+r)r.$

• Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружностиШаблон:Sfn.

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике:

$(R-r_{in}{)}^2=d^2+r_{in}^2,$

где R и r_in являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

$(R+r_{ex}{)}^2=d^2+r_{ex}^2,$

где r_ex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей

• Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением

$O{I}^2=d^2=R(R-2r_{in}),$

$O{I}^2=\frac{abc}{a+b+c}[\frac{abc}{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}-1]$

Аналогично для второй формулы:

$d^2=R(R+2r_{ex}).$

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

• Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно

$IN=\frac{1}{2}(R-2r)<\frac{1}{2}R.$

• Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны. Так, для вершины B и прилежащих точек касания T_A и T_C,

$B{T}_A=B{T}_C=\frac{BC+AB-AC}{2}.$

• Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим

$\frac{IA\cdot IA}{CA\cdot AB}+\frac{IB\cdot IB}{AB\cdot BC}+\frac{IC\cdot IC}{BC\cdot CA}=1$

и

$IA\cdot IB\cdot IC=4R{r}^2.$

• Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то $\frac{AI}{DI}=\frac{AB+AC}{BC}$
• Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника.
• Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$.

• Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности.

Теорема Харкорта

• Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

$a{a}^{\prime }+b{b}^{\prime }+c{c}^{\prime }=2K.$.

Другие свойства вневписанных окружностей

• Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r_a, r_b, r_c:

$r_a+r_b+r_c=4R+r,$

$r_a{r}_b+r_b{r}_c+r_c{r}_a=s^2,$

$r_a^2+r_b^2+r_c^2=(4R+r{)}^2-2s^2,$

• Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R.

• Если H — ортоцентр треугольника ABC, то

$r_a+r_b+r_c+r=AH+BH+CH+2R,$

$r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=A{H}^2+B{H}^2+C{H}^2+(2R{)}^2.$

• Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника J_AJ_B,J_C,

где J_AJ_B,J_C — центры вневписанных окружностей.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружностиШаблон:Sfn.
• Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностейШаблон:Sfn. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок).

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен $\frac{r^2+s^2}{4r}$, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника.

Определение точки Аполлония Ap

• Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
• Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника.

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника.

Обобщение на другие многоугольники

• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
• Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то

$AB+BC=AD+DC\iff AE+EC=AF+FC.$

См. также

• Вневписанная окружность
• Внеописанный четырёхугольник
• Вписанная окружность
• Вписанные и описанные фигуры для треугольника
• Шаблон:Не переведено 5
• Вписанная сфера
• Высота треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Инцентр или Центр вписанной окружности
• Окружность
• Описанная окружность
• Описанный четырёхугольник
• Ортоцентр
• Степень точки относительно окружности
• Теорема Мансиона
• Теорема о трезубце
• Теорема Тебо 2 и 3
• Теорема Харкорта
• Точки Аполлония
• Степень точки относительно окружности
• Центр Шпикера
• Центроид
• Центроид треугольника
• Эллипс Мандарта
• Эллипс Штейнера

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
• Шаблон:MathWorld

Сайты с интерактивным содержанием

• Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
• Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
• Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
• Five Incircles Theorem at cut-the-knot
• Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
• An interactive Java applet for the incenter