Функтор (математика)

Шаблон:Другие значения Функтор — особый тип отображений между категориями. Его можно понимать как отображение, сохраняющее структуру. Функторы между малыми категориями являются морфизмами в категории малых категорий. Совокупность всех категорий не является категорией в обычном смысле, так как совокупность её объектов не является классом. Один из способов преодолеть подобные теоретико-множественные трудности — добавление в ZFC независимой от неё аксиомы о существовании Шаблон:Iw.

Впервые функторы начали рассматривать в алгебраической топологии, в которой топологическим пространствам сопоставляются алгебраические объекты (например, фундаментальная группа), а непрерывным отображениям — гомоморфизмы между этими объектами. Впоследствии функторы получили распространение во многих областях математики и используются для того, чтобы связывать между собой различные категории.

Термин «функтор» был позаимствован математиками из работ философа Рудольфа КарнапаШаблон:Sfn, при этом у Карнапа слово «функтор» относилось к лингвистическому понятию.

Определение

Функтор $F$ должен сохранять композицию морфизмов $\tau$ и $\sigma$

Шаблон:Видимый якорь $ℱ:𝒞\to 𝒟$ из категории $𝒞$ в категорию $𝒟$ — это отображение, которое:

• сопоставляет каждому объекту $X\in 𝒞$ объект $ℱ(X)\in 𝒟,$
• сопоставляет каждому морфизму $f:X\to Y$ в категории $𝒞$ морфизм $ℱ(f):ℱ(X)\to ℱ(Y)$ в категории $𝒟$. Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
  • $ℱ({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{ℱ(A)}$,
  • $ℱ(g\circ f)=ℱ(g)\circ ℱ(f)$.

Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.

Аналогичным образом, Шаблон:Видимый якорь — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму $f:X\to Y$ морфизм $ℱ(f):ℱ(Y)\to ℱ(X)$), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:

$ℱ(g\circ f)=ℱ(f)\circ ℱ(g)$.

Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории ${𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из $𝒞$ в $𝒟$» говорят «функтор из ${𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ в $𝒟$» (или, иногда, «функтор из $𝒞$ в ${𝒟}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$»).

Бифункторы и мультифункторы

Шаблон:ЯкорьБифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.

Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$ имеет вид ${𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\times 𝒞\to 𝐒𝐞𝐭$.

Шаблон:ЯкорьМультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на $n$ переменных.

Примеры

Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.

• Пусть $𝒞$ — подкатегория в категории $𝒟$. В таком случае определён функтор вложения $I:𝒞\hookrightarrow 𝒟$, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
• Шаблон:ЯкорьПостоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории $𝒞$ в фиксированный объект категории $𝒟$, а каждый морфизм $𝒞$ — в тождественный морфизм этого объекта.
• Шаблон:ЯкорьЭндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
• Двойственное векторное пространство: отображение, сопоставляющее каждому векторному пространству двойственное к нему, а каждому линейному отображению — двойственное (или транспонированное) отображение, является контравариантным эндофунктором на категории векторных пространств.
• Пусть $𝒞$ — конкретная категория, то есть категория, снабженная унивалентным функтором в категорию множеств (частный случай забывающего функтора). С помощью этого функтора объектам категории сопосталяются множества, и можно думать о морфизмах, как о функциях на этих множествах, сохраняющих дополнительную структуру (пример: категории групп, категория колец, категория множеств). Левый сопряжённый (если он существует) к забывающему функтору есть функтор свободного объекта (пример: свободный модуль).
• Предпучки: пусть $X$ — топологическое пространство, тогда открытые подмножества $X$ образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое $O(X)$. Как и любому частично упорядоченному множеству, $O(X)$ можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм $U\to V$ тогда и только тогда, когда $U\subseteq V$. Контравариантные функторы из $O(X)$ называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
• Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству $X$ с отмеченной точкой $x_0$ можно сопоставить фундаментальную группу ${\pi }_1(X,x_0)$, элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если $f:X\to (Y)$ — морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки $x_0$ можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки $y_0$. Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из $\pi (X,x_0)$ в $\pi (Y,y_0)$. Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
• Касательное и кокасательное расслоение: отображение, сопоставляющее гладкому многообразию его касательное расслоение, а диффеоморфизму многообразий — его дифференциал, является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию векторных расслоений. Аналогично, кокасательное расслоение и кодифференциал диффеоморфизма задают контравариантный функтор.

  Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.

• Тензорное произведение: если $𝒞$ — категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор $𝒞\times 𝒞\to 𝒞$, ковариантный по обоим аргументам.
• Шаблон:Iw — произвольные контравариантные функторы из симплициальной категории в различные категории (в категорию множеств — симплициальное множество, в категорию групп — Шаблон:Iw и другие); конструкции, обобщающие понятие симплициального комплекса, играют важную роль в алгебраической топологии.
• Функтор $\mathrm{Gal}:{𝐅𝐥𝐝}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐆𝐫𝐩$ сопоставляет полю $F$ его абсолютную группу Галуа $\mathrm{Gal}(\overline{F}/F)$, а гомоморфизму полей — соответствующийШаблон:Прояснить гомоморфизм групп Галуа.

Свойства

• Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
• Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
• Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.

Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».

Связь с другими категорными понятиями

Пусть $𝒞$ и $𝒟$ — категории. Множество всех морфизмов $ℱ:𝒞\to 𝒟$ можно считать множеством объектов другой категории: категории функторов. Морфизмы в этой категории — естественные преобразования функторов.

Функторы довольно часто задают при помощи универсальных свойств, примеры включают в себя тензорные произведения, произведения групп, множеств или векторных пространств, прямые и обратные пределы. Также универсальные конструкции часто задают пару сопряжённых функторов.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — С. 43—67.
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web