Теорема Тейлора

Экспоненциальная функция y = e^x (сплошная красная линия) и соответствующий многочлен Тейлора четвёртого порядка (штрих-пунктирная зелёная линия) вблизи начала координат

Эта статья о многочленах Тейлора дифференцируемых функций. О рядах Тейлора аналитических функций см. соответствующую статью.

Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора.

Эта теорема названа в честь математика Брука Тейлора, который сформулировал одну из её версий в 1712 году. Явное выражение для ошибки приближения было дано намного позже Жозефом Лагранжем. Ранее, в 1671 году, Джеймсом Грегори уже было упомянуто следствие из теоремы.

Теорема Тейлора позволяет овладеть приёмами вычислений начального уровня, и она является одним из центральных элементарных инструментов в математическом анализе. При изучении математики она является начальной точкой для изучения асимптотического анализа. Теорема также используется в математической физике. Она также обобщается на функции нескольких переменных и векторные функции $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ для любых размерностей $n$ и $m$. Это обобщение теоремы Тейлора является базовым для определения так называемых струй, которые появляются в дифференциальной геометрии и в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Предпосылки для введения теоремы

График Шаблон:Nowrap (голубого цвета) с его линейным приближением Шаблон:Nowrap (красным цветом) в точке a = 0.

Если вещественно-значимая функция f(х) является дифференцируемой в точке a, то она имеет линейное приближение в точке a. Это означает, что существует функция h₁ такая, что

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+h_1(x)(x-a),\underset{x\to a}{\lim }{h}_1(x)=0.$

Здесь

$P_1(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

это линейное приближение функции f в точке a. График функции Шаблон:Nowrap является касательной к графику функции f в точке Шаблон:Nowrap. Ошибка приближения такова

$R_1(x)=f(x)-P_1(x)=h_1(x)(x-a).$

Заметим, что ошибка приближается к нулю немного быстрее, чем разница Шаблон:Nowrap приближается к нулю по мере того, как x стремится к a.

График Шаблон:Nowrap (голубого цвета) с квадратичным приближением Шаблон:Nowrap (красного цвета) в точке a = 0. Заметны значительные улучшения приближения.

Если мы ищем лучшее приближение f, мы можем использовать многочлен второй степени вместо линейной функции. Вместо нахождения производной от f в точке a, мы можем найти две производные, получив таким образом многочлен, который так же как и f возрастает (или убывает), и так же как и f имеет выпуклость (или вогнутость) в точке a. Многочлен второй степени (квадратный многочлен) в этом случае будет выглядеть следующим образом:

$P_2(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2}(x-a{)}^2.$

Теорема Тейлора позволяет убедиться, что квадратичное приближение является, в достаточно малой окрестности точки a, лучшим приближением, чем линейное. В частности,

$f(x)=P_2(x)+h_2(x)(x-a{)}^2,\underset{x\to a}{\lim }{h}_2(x)=0.$

Здесь ошибка приближения такова

$R_2(x)=f(x)-P_2(x)=h_2(x)(x-a{)}^2$

которая, при ограниченном характере h₂, приближается к нулю быстрее, чем приближается к нулю Шаблон:Nowrap по мере того, как x стремится к a.

Приближение функции f(x) = 1/(1 + x²) с помощью многочленов P_k порядка k = 1, …, 16 относительно точки x = 0 (красный) и точки x = 1 (салатовый цвет). Приближение вообще не улучшается за пределами (-1,1) и (1-√2,1+√2), соответственно.

Таким образом, мы будем продолжать получать более хорошие приближения к f, если будем использовать многочлены всё более высокой степени. В общем, ошибка в приближении функции с помощью полиномов порядка k будет приближаться к нулю немного быстрее, чем приближается к нулю Шаблон:Nowrap по мере того как x стремится к a.

Это следствие имеет асимптотическую природу: оно лишь говорит нам, что ошибка R_k приближения с помощью многочленов Тейлора k-го порядка P_k приближается к нулю быстрее, чем ненулевой многочлен k-го порядка по мере того как x → a. Оно не говорит нам, насколько велика ошибка в любой окрестности центра приближения, но для этого существует формула для остатка (приведена ниже).

Наиболее полные версии теоремы Тейлора как правило приводят к равномерным оценкам ошибки приближения в малой окрестности центра приближения, но эти оценки не являются адекватными для окрестностей, которые слишком велики, даже если функция f является аналитической. В этой ситуации следует выбирать несколько многочленов Тейлора с разными центрами приближения, чтобы иметь надёжное Тейлорово приближение к исходной функции (см. Анимированный рисунок выше). Возможна также ситуация, когда возрастание порядка многочлена не увеличивает качество приближения вообще, даже если функция f дифференцируется бесконечное число раз. Такой пример приведён ниже.

Теорема Тейлора для функций от одной вещественной переменной

Формулировка теоремы

Точная формулировка большинства базовых версий теоремы такова.

Многочлен, возникающий в теореме Тейлора, является многочленом Тейлора k-го порядка

$P_k(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$

функции f в точке a.

Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена

$R_k(x)=f(x)-P_k(x),$

который является ошибкой при нахождении приближения функции f с помощью многочленов Тейлора. Используя «O» большое и «o» малое теорему Тейлора можно сформулировать так

$R_k(x)=o(|x-a{|}^k),x\to a.$

Формулы для остатка

Существует несколько точных формул для остаточного члена R_k многочлена Тейлора, наиболее общая из которых следующая.

Эти уточнения теоремы Тейлора обычно выводятся с помощью формулы конечных приращений.

Можно так же найти и другие выражения для остатка. Например, если G(t) является непрерывной на закрытом интервале и дифференцируемой с нестремящейся к нулю производной на открытом интервале между a и x, то

$R_k(x)=\frac{f^{(k+1)}(\xi )}{k!}(x-\xi {)}^k\frac{G(x)-G(a)}{G^{\prime }(\xi )}$

для некоторого числа ξ между a и x. Эта версия охватывает формы Лагранжа и Коши как частные случаи, и выводится с помощью теоремы Коши о среднем значении (расширенной версии теоремы Лагранжа о среднем значении).

Запись формулы для остатка в интегральной форме является более общей, чем предыдущие формулы, и требует понимания интегральной теории Лебега. Однако она сохраняется также для интеграла Римана при условии, что производная порядка (k+1) от f является непрерывной на закрытом интервале [a,x].

Вследствие абсолютной непрерывности f^(k) на закрытом интервале между a и x, её производная f^(k+1) существует как L¹-функция, и это следствие может быть получено с помощью формальных вычислений с использованием теоремы Ньютона — Лейбница и интегрирования по частям.

Оценки остатка

На практике часто бывает полезно численно оценить величину остаточного члена приближения Тейлора.

Будем считать, что f является (k+1)-раз непрерывно дифференцируемой на интервале I, содержащем a. Будем считать, что существуют действительные постоянные числа q и Q такие, что

$q\le f^{(k+1)}(x)\le Q$

на всём протяжении I. Тогда остаточный член удовлетворяет неравенству

$q\frac{(x-a{)}^{k+1}}{(k+1)!}\le R_k(x)\le Q\frac{(x-a{)}^{k+1}}{(k+1)!},$

если Шаблон:Nowrap, и схожая оценка, если Шаблон:Nowrap. Это простое следствие из формулы остатка в Лагранжевой форме. В частности, если

$|f^{(k+1)}(x)|\le M$

на интервале Шаблон:Nowrap с некоторым r>0, то

$|R_k(x)|\le M\frac{|x-a{|}^{k+1}}{(k+1)!}\le M\frac{r^{k+1}}{(k+1)!}$

для всех Шаблон:Nowrap Второе неравенство называется равномерной оценкой, потому что она сохраняет равномерность для всех x на интервале Шаблон:Nowrap

Пример

Приближение e^x (голубой) с помощью многочленов Тейлора P_k порядка k=1,…,7 с центром в точке x=0 (красный).

Допустим, мы хотим найти приближение функции Шаблон:Nowrap на интервале Шаблон:Nowrap и убедиться, что ошибка не превышает значения 10⁻⁵. В этом примере считаем, что нам известны следующие свойства экспоненциальной функции:

$(*)e^0=1,\frac{d}{dx}{e}^x=e^x,e^x>0,x\in ℝ.$

Из этих свойств следует, что Шаблон:Nowrap для всех k, и в частности, Шаблон:Nowrap. Отсюда следует, что многочлен Тейлора k-го порядка функции f в точке 0 и его остаточного члена в форме Лагранжа даётся формулой

$P_k(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^k}{k!},R_k(x)=\frac{e^{\xi }}{(k+1)!}{x}^{k+1},$

где ξ — это некоторое число между 0 и x. Поскольку e^x возрастает согласно (*), мы можем использовать e^x ≤ 1 для x ∈ [−1, 0], чтобы оценить остаток на подынтервале [−1, 0]. Для нахождения верхней границы значения остатка на интервале [0,1], можем использовать свойство Шаблон:Nowrap для 0<ξ<x, чтобы оценить

$e^x=1+x+\frac{e^{\xi }}{2}{x}^2<1+x+\frac{e^x}{2}{x}^2,0<x\le 1$

используя многочлен Тейлора второго порядка. Выражая из этого неравенства e^x, приходим к выводу, что

$e^x\le \frac{1+x}{1-\frac{x^2}{2}}=2\frac{1+x}{2-x^2}\le 4,0\le x\le 1$

приняв, что числитель принимает максимальное из всех своих возможных значений, а знаменатель принимает минимальное из всех своих возможных значений. Используя эти оценки значений e^x, мы видим, что

$|R_k(x)|\le \frac{4|x{|}^{k+1}}{(k+1)!}\le \frac{4}{(k+1)!},-1\le x\le 1,$

и требуемая точность определённо достигается в том случае, когда

$\frac{4}{(k+1)!}<10^{-5}\iff 4\cdot 10^5<(k+1)!\iff k\ge 7.$

(где факториал 7!=5 040 и 8!=40 320.) В конечном счёте, теорема Тейлора приводит к приближению

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\dots +\frac{x^7}{7!}+R_7(x),|R_7(x)|<10^{-5},-1\le x\le 1.$

Отметим, что это приближение позволяет вычислить значение e≈2.71828 с точностью до пятого знака после запятой.

Аналитичность

Разложение Тейлора для вещественных аналитических функций

Пусть $I\subset ℝ$ является открытым интервалом. По определению, функция $f:I\to ℝ$ является вещественной аналитической, если она на данном участке определена сходимостью степенного ряда. Это означает, что для каждого $a\in I$ существует некоторое r > 0 и последовательность коэффициентов c_k ∈ R такая, что Шаблон:Nowrap и

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k(x-a{)}^k=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\cdots ,|x-a|<r.$

В общем, радиус сходимости степенного ряда может быть вычислен по Шаблон:Не переведено

$\frac{1}{R}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|c_k{|}^{\frac{1}{k}}.$

Этот результат основан на сравнении с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, и тот же самый метод показывает, что если степенной ряд, разложенный по a, сходится для некоторого b∈R, он должен сходиться равномерно на закрытом интервале Шаблон:Nowrap, где r_b = |b − a|. Здесь мы только рассмотрели сходимость степенного ряда, и не исключено, что область Шаблон:Nowrap расширяется за пределы области определения I функции f.

Многочлен Тейлора от вещественной аналитической функции f в точке a

$P_k(x)=\sum _{j=0}^k{c}_j(x-a{)}^j,c_j=\frac{f^{(j)}(a)}{j!}$

является простым усечением определённого на некотором интервале соответствующего степенного ряда этой функции, и остаточный член на данном интервале даётся аналитической функцией

$R_k(x)=\sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}{c}_j(x-a{)}^j=(x-a{)}^k{h}_k(x),|x-a|<r.$

Здесь функция

$h_k:(a-r,a+r)\to ℝ;h_k(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{k+1+j}(x-a{)}^j$

также является аналитической, поскольку её степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд. При условии, что Шаблон:Nowrap ⊂ I и r < R, все эти ряды сходятся равномерно на интервале Шаблон:Nowrap. Конечно, в случае аналитических функций можно оценить остаточный член R_k(x) путём «обрезания» последовательности производных f′(a) в центре приближения, но при использовании комплексного анализа появляются и другие возможности, которые описаны ниже.

Теорема Тейлора и сходимость ряда Тейлора

Существует разногласие между многочленами Тейлора дифференцируемых функций и рядами Тейлора аналитических функций. Можно рассматривать (справедливо) ряд Тейлора

$f(x)\approx \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k(x-a{)}^k=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a{)}^2+\dots$

бесконечное число раз дифференцируемой функции f:R→R как её «многочлен Тейлора бесконечно большого порядка» в точке a. Теперь оценка остатка многочлена Тейлора подразумевает, что для любого порядка k и для любого r>0 существует постоянная Шаблон:Nowrap такая, что

$(*)|R_k(x)|\le M_{k,r}\frac{|x-a{|}^{k+1}}{(k+1)!}$

для каждого x∈(a-r, a+r). Иногда эти постоянные могут быть выбраны таким образом, что Шаблон:Nowrap, когда Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap остаётся неизменной. Тогда ряд Тейлора функции f сходится равномерно к некоторой аналитической функции

$T_f:(a-r,a+r)\to ℝ;T_f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k.$

Тут важно упомянуть тонкий момент. Возможна ситуация, когда бесконечное число раз дифференцируемая функция f имеет ряд Тейлора в точке a, который сходится в некоторой открытой окрестности точки a, но предельная функция T_f отличается от f. Важным примером этого феномена является такой

$f:ℝ\to ℝ;f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-\frac{1}{x^2}}& ,x>0,\\ 0& ,x\le 0.\end{array}$

Используя цепное правило можно показать индуктивно, что для любого порядка k,

$f^{(k)}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{p_k(x)}{x^{3k}}{e}^{-\frac{1}{x^2}}& ,x>0\\ 0& ,x\le 0\end{array}$

для некоторого многочлена p_k. Функция $e^{-\frac{1}{x^2}}$ стремится к нулю быстрее, чем любой полином, по мере того как Шаблон:Nowrap, тогда f является бесконечное число раз дифференцируемой и Шаблон:Nowrap для каждого положительного целого k. Теперь оценки для остатка многочлена Тейлора функции f показывают, что ряд Тейлора сходится равномерно к нулевой функции на всей действительной числовой оси. Не будет ошибки в следующих утверждениях:

• Ряд Тейлора функции f сходится равномерно к нулевой функции T_f(x)=0.
• Нулевая функция является аналитической, и каждый коэффициент её ряда Тейлора равен нулю.
• Функция f является бесконечное число раз дифференцируемой, но не аналитической.
• Для любого k∈N и r>0 существует M_{k, r}>0 такое, что остаточный член многочлена Тейлора k-го порядка функции f удовлетворяет условию (*).

Теорема Тейлора в комплексном анализе

Теорема Тейлора обобщает функции $f:ℂ\to ℂ$, которые являются комплексно дифференцируемыми на открытом подмножестве U ⊂ C комплексной плоскости. Однако её полезность снижена другими теоремами комплексного анализа, а именно: более полные версии подобных результатов могут быть выведены для комплексно дифференцируемых функций f : U → C с использованием интегральной формулы Коши как показано ниже.

Пусть r > 0 такое, что замкнутый круг B(z, r) ∪ S(z, r) содержится в U. Тогда интегральная формула Коши с положительной параметризацией Шаблон:Nowrap окружности S(z, r) с Шаблон:Nowrap даёт

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw,f^{\prime }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{(w-z{)}^2}dw,\dots ,f^{(k)}(z)=\frac{k!}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{(w-z{)}^{k+1}}dw.$

Здесь все подынтегральные выражения являются непрерывными на окружности S(z, r), что обосновывает Шаблон:Не переведено. В частности, если f является один раз комплексно дифференцируемой на открытом множестве U, то она фактически бесконечное число раз комплексно дифференцируема на U. Имеем оценку Коши

$|f^{(k)}(z)|\le \frac{k!}{2\pi }\underset{\gamma }{\int }\frac{M_r}{|w-z{|}^{k+1}}dw=\frac{k!M_r}{r^k},M_r=\underset{|w-c|=r}{\max }|f(w)|$

для любого z ∈ U и r > 0 такой, что B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U. Эти оценки подразумевают, что комплексный ряд Тейлора

$f(z)\approx \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c{)}^k$

функции f сходится равномерно в любом круге B(c, r) ⊂ U с S(c, r) ⊂ U в некоторой функции T_f. Кроме того, используя формулу интегрирования по контуру для производных f^(k)(c),

$\begin{array}{cc}{T}_f(z)=& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-c{)}^k}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{(w-c{)}^{k+1}}dw=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{w-c}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{z-c}{w-c}{)}^{k}dw\\ =& \frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{w-c}\left(\frac{1}{1-\frac{z-c}{w-c}}\right)dw=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw=f(z),\end{array}$

таким образом, любая комплексно дифференцируемая функция f на открытом множестве U ⊂ C является комплексно аналитической. Всё то, что было написано выше для вещественных аналитических функций справедливо также и для комплексных аналитических функций, где открытый интервал I заменён на открытое подмножество U ∈ C и a-центрированные интервалы (a − r, a + r) заменена на c-центрированные круги B(c, r). В частности, разложение Тейлора сохраняется в виде

$f(z)=P_k(z)+R_k(z),P_k(z)=\sum _{j=0}^k\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(z-c{)}^k,$

где остаточный член R_k является комплексно аналитическим. При рассмотрении рядов Тейлора методы комплексного анализа позволяют получить несколько более мощные результаты. Например, используя интегральную формулу для любого положительно ориентированную жорданову кривую γ которая параметризирует границу ∂W ⊂ U области W ⊂ U, можно получить выражение для производных Шаблон:Nowrap как показано выше, и слегка изменив расчёты для Шаблон:Nowrap, прийти к точной формуле

$R_k(z)=\sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z-c{)}^j}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)}{(w-c{)}^{j+1}}dw=\frac{(z-c{)}^{k+1}}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f(w)dw}{(w-c{)}^{k+1}(w-z)},z\in W.$

Важная особенность здесь состоит в том, что качество приближения с помощью многочлена Тейлора в области W ⊂ U является мажорируемым значениями функции f на границе ∂W ⊂ U. Так же, применяя оценки Коши к выражению остатка Ряда, получаем равномерные оценки

$|R_k(z)|\le \sum _{j=k+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{M_r|z-c{|}^j}{r^j}=\frac{M_r}{r^{k+1}}\frac{|z-c{|}^{k+1}}{1-\frac{|z-c|}{r}}\le \frac{M_r{\beta }^{k+1}}{1-\beta },\frac{|z-c|}{r}\le \beta <1.$

Пример

График комплексной функции f(z) = 1/(1 + z²). Модуль показан высотой подъёма и аргумент показан цветом: циан=0, синий=π/3, фиолетовый=2π/3, красный=π, жёлтый=4π/3, зелёный=5π/3.

Функция f:R→R, определяемая уравнением

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

является вещественной аналитической, то есть, в данной области определяется её рядом Тейлора. Один из рисунков, приведённых выше, показывает, что некоторые очень просто задаваемые функции не могут быть выражены с помощью приближения Тейлора в окрестности центра приближения, если эта окрестность слишком велика. Это свойство легко понять в рамках комплексного анализа. Более конкретно, функция f расширяется до мероморфной функции

$f:ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}\to ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\};f(z)=\frac{1}{1+z^2}$

на компактифицированной комплексной плоскости. Она имеет простые оси в точках z=i и z=−i, и она всюду аналитическая. Её ряд Тейлора, имеющий центром z₀, сходится на любом круге B(z₀,r) с r<|z-z₀|, где тот же ряд Тейлора сходится при z∈C. Вследствие этого ряд Тейлора функции f, имеющий центром точку 0, сходится на B(0,1) и он не сходится для любого z∈C с |z|>1 вследствие имеющихся осей в точках i и −i. По тем же причинам ряд Тейлора функции f, имеющий центром точку 1, сходится на B(1,√2) и не сходится для любого z∈C с |z-1|>√2.

Обобщения теоремы Тейлора

Высшие порядки дифференцируемости

Функция f:Rⁿ → R является дифференцируемой в точке a ∈ Rⁿ тогда и только тогда, когда существует линейная форма L : Rⁿ → R и функция h : Rⁿ → R такая, что

$f(𝒙)=f(𝒂)+L(𝒙-𝒂)+h(𝒙)(𝒙-𝒂),\underset{𝒙\to 𝒂}{\lim }h(𝒙)=0.$

Если этот случай имеет место, то L = df(a) является дифференциалом функции f в точке a. Кроме того, когда частные производные функции f существуют в точке a, то дифференциал f в точке a даётся формулой

$df(𝒂)(𝒗)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(𝒂)v_1+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n}(𝒂)v_n.$

Вводя мультииндекс, запишем

$|\alpha |={\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n,\alpha !={\alpha }_1!\cdots {\alpha }_n!,{𝒙}^{\alpha }=x_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$

для α ∈ Nⁿ и x ∈ Rⁿ. Если все частные производные k-го порядка функции Шаблон:Nowrap являются непрерывными в Шаблон:Nowrap, то, по теореме Клеро, можно изменить порядок смешанных производных в точке a, тогда запись

$D^{\alpha }f=\frac{{\partial }^{|\alpha |}f}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}},|\alpha |\le k$

для частных производных высших порядков является правомерной в этой ситуации. То же самое является верным, если все частные производные (k − 1)-го порядка функции f существуют в некоторой окрестности точки a и являются дифференцируемыми в точке a. Тогда можно сказать, что функция f является k раз дифференцируемой в точке a .

Теорема Тейлора для функций многих переменных

Если функция Шаблон:Nowrap является k+1 раз непрерывно дифференцируемой в замкнутом шаре B, то можно получить точную формулу для остатка разложения Тейлора до частных производных Шаблон:Nowrap порядка от f в этой окрестности. А именно

$f(𝒙)=\sum _{|\alpha |=0}^k\frac{D^{\alpha }f(𝒂)}{\alpha !}(𝒙-𝒂{)}^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}{R}_{\beta }(𝒙)(𝒙-𝒂{)}^{\beta },R_{\beta }(𝒙)=\frac{|\beta |}{\beta !}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-t{)}^{|\beta |-1}{D}^{\beta }f(𝒂+t(𝒙-𝒂))dt.$

В этом случае, вследствие непрерывности частных производных (k+1)-го порядка на компактном множестве B, непосредственно получаем

$|R_{\beta }(𝒙)|\le \frac{|\beta |}{\beta !}\underset{|\alpha |=|\beta |}{\max }\underset{𝒚\in B}{\max }|D^{\alpha }f(𝒚)|,𝒙\in B.$

Доказательства

Доказательство теоремы Тейлора для одной вещественной переменной

Пусть

$h_k(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(x)-P(x)}{(x-a{)}^k}& x=a\\ 0& x=a\end{array}$

где, как указано в формулировке теоремы Тейлора,

$P(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k.$

Достаточно показать, что

$\underset{x\to a}{\lim }{h}_k(x)=0.$

Доказательство основано на повторяющемся применении правила Лопиталя. Заметим, что каждое Шаблон:Nowrap, $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$. Отсюда каждая следующая производная числителя функции $h_k(x)$ стремится к нулю в точке $x=a$, и то же самое справедливо для знаменателя. Тогда

$\begin{array}{cc}\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-P(x)}{(x-a{)}^k}& =\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{d}{dx}(f(x)-P(x))}{\frac{d}{dx}(x-a{)}^k}=\cdots =\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{d^{k-1}}{d{x}^{k-1}}(f(x)-P(x))}{\frac{d^{k-1}}{d{x}^{k-1}}(x-a{)}^k}\\ & =\frac{1}{k!}\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}\\ & =\frac{1}{k!}(f^{(k)}(a)-P^{(k)}(a))=0\end{array}$

где переход от предпоследнего выражения к последнему следует из определения производной в точке x = a.

Источники

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.

Ссылки

• Taylor Series Approximation to Cosine at cut-the-knot
• Trigonometric Taylor Expansion interactive demonstrative applet
• Taylor Series Revisited at Holistic Numerical Methods Institute