Таблица математических символов

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования. Список и смысл обозначений соответствует международным стандартам ISO 31-11 и ISO 80000-2.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, $A\subset B$ обозначает то же, что и $B\supset A.$

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

• Плюс: +
• Минус: −
• Знаки умножения: ×, · (в программировании также *)
• Знаки деления: :, ∶, /, ∕, ÷
• Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠
• Знак пропорциональности: ∝
• Скобки (для определения порядка операций и др.): ( ), [ ], { }
• Среднее арифметическое:〈 〉, ̅
• Знак тождественности: ≡
• Знаки сравнения: <, >, ⩽, ⩾, ≪, ≫
• Знак порядка (тильда): ~
• Знак плюс-минус: ±
• Знак корня (радикал): √
• Факториал: !
• Знак интеграла: ∫
• Знак возведения в степень: ^ (в типографской и рукописной записи формул не применяется; используется в программировании, наряду с более редкими символами ↑ и **, а также в линейной текстовой записи формул).

Математическая логика

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\Rightarrow$ (\Rightarrow) $\to$ (\rightarrow) $\supset$ (\supset)	⇒ → ⊃	Импликация, следование	$A\Rightarrow B$ означает «если $A$ верно, то $B$ также верно». (→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.) (⊃ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения надмножества, см. ниже.).	$x=2\Rightarrow x^2=4$ верно, но $x^2=4\Rightarrow x=2$ неверно, так как $x=-2$ также является решением.
		«влечёт» или «если…, то» или «отсюда следует»
$\iff$ (\Leftrightarrow)	⇔	Равносильность	$A\iff B$ означает «$A$ верно тогда и только тогда, когда $B$ верно».	$x+5=y+2\iff x+3=y$
		«если и только если» или «равносильно»
$\wedge$ (\wedge)	∧	Конъюнкция	$A\wedge B$ истинно тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ оба истинны.	$(n>2)\wedge (n<4)\iff (n=3)$, если $n$ — натуральное число.
		«и»
$\vee$ (\vee)	∨	Дизъюнкция	$A\vee B$ истинно, когда хотя бы одно из условий $A$ или $B$ истинно.	$(n⩽2)\vee (n⩾4)\iff n\ne 3$, если $n$ — натуральное число.
		«или»
$\mathrm{\neg }$ (\neg)	¬	Отрицание	$\mathrm{\neg }A$ истинно тогда и только тогда, когда ложно $A$.	$\mathrm{\neg }(A\wedge B)\iff (\mathrm{\neg }A)\vee (\mathrm{\neg }B)$ $x\notin S\iff \mathrm{\neg }(x\in S)$
		«не»
$\mathrm{\forall }$ (\forall)	∀	Квантор всеобщности	$\mathrm{\forall }x,P\left(x\right)$ обозначает «$P\left(x\right)$ верно для всех $x$».	$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},n^2⩾n$
		«Для любых», «Для всех», «Для всякого»
$\mathrm{\exists }$ (\exists)	∃	Квантор существования	$\mathrm{\exists }x,P\left(x\right)$ означает «существует хотя бы один $x$ такой, что верно $P\left(x\right)$»	$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},n+5=2n$ (подходит число 5)
		«существует»
$=$	=	Равенство	$x=y$ обозначает «$x$ и $y$ принимают одно и то же значение».	$x+y=y+x$
		«равно»
$:=$ $:\iff$ (:\Leftrightarrow) $\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}$ (\stackrel{\rm{def}}{=})	:= :⇔ ≝	Определение	$x:=y$ означает «$x$ по определению равен $y$». $P:\iff Q$ означает «$P$ по определению равносильно $Q$»	$\mathrm{c}\mathrm{h}\left(x\right):=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ (определение гиперболического косинуса) $A\oplus B:\iff (A\vee B)\wedge \mathrm{\neg }(A\wedge B)$ (определение исключающего «ИЛИ»)
		«равно/равносильно по определению»

Теория множеств и теория чисел

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\{,\}$	{ }	Множество элементов	$\{a,b,c\}$ означает множество, элементами которого являются $a$, $b$ и $c$.	$\mathbb{N}=\{1,2,\dots \}$ (множество натуральных чисел)
		«Множество…»
$\{|\}$	{|}	Множество элементов, удовлетворяющих условию	$\{x|P\left(x\right)\}$ означает множество всех $x$ таких, что верно $P\left(x\right)$.	$\{n\in \mathbb{N}|n^2<20\}=\{1,2,3,4\}$
		«Множество всех… таких, что верно…»
$\varnothing$ (\varnothing) $\{\}$	∅ {}	Пустое множество	$\{\}$ и $\varnothing$ означают множество, не содержащее ни одного элемента.	$\{n\in \mathbb{N}|1<n^2<4\}=\varnothing$
		«Пустое множество»
$\in$ (\in) $\notin$ (\notin)	∈ ∉	Принадлежность/непринадлежность к множеству	$a\in S$ означает «$a$ является элементом множества $S$» $a\notin S$ означает «$a$ не является элементом множества $S$»	$2\in \mathbb{N}$ $\frac{1}{2}\notin \mathbb{N}$
		«принадлежит», «из» «не принадлежит»
$\subseteq$ (\subseteq) $\subset$ (\subset)	⊆ ⊂	Подмножество	$A\subseteq B$ означает «каждый элемент из $A$ также является элементом из $B$». $A\subset B$ обычно означает то же, что и $A\subseteq B$. Однако некоторые авторы используют $\subset$, чтобы показать строгое включение (то есть $⊊$).	$(A\cap B)\subseteq A$ $\mathbb{Q}\subseteq ℝ$
		«является подмножеством», «включено в»
$\supseteq$ (\supseteq) $\supset$ (\supset)	⊇ ⊃	Надмножество	$A\supseteq B$ означает «каждый элемент из $B$ также является элементом из $A$». $A\supset B$ обычно означает то же, что и $A\supseteq B$. Однако некоторые авторы используют $\supset$, чтобы показать строгое включение (то есть $⊋$).	$(A\cup B)\supseteq A$ $ℝ\supseteq \mathbb{Q}$
		«является надмножеством», «включает в себя»
$⊊$ (\subsetneq)	⊊	Собственное подмножество	$A⊊B$ означает $A\subseteq B$ и $A\ne B$.	$\mathbb{N}⊊\mathbb{Q}$
		«является собственным подмножеством», «строго включается в»
$⊋$ (\supsetneq)	⊋	Собственное надмножество	$A⊋B$ означает $A\supseteq B$ и $A\ne B$.	$\mathbb{Q}⊋\mathbb{N}$
		«является собственным надмножеством», «строго включает в себя»
$\cup$ (\cup)	⋃	Объединение	$A\cup B$ означает множество, содержащее все элементы из $A$ и $B$	$A\subseteq B\iff A\cup B=B$
		«Объединение … и …», «…, объединённое с …»
$\cap$ (\cap)	⋂	Пересечение	$A\cap B$ означает множество одинаковых элементов, принадлежащих и $A$, и $B$.	$\{x\in ℝ|x^2=1\}\cap \mathbb{N}=\{1\}$
		«Пересечение … и …», «…, пересечённое с …»
$\setminus$ (\setminus)	\	Разность множеств	$A\setminus B$ означает множество элементов, принадлежащих $A$, но не принадлежащих $B$.	$\{1,2,3,4\}\setminus \{3,4,5,6\}=\{1,2\}$
		«разность … и …», «минус», «… без …»
$\to$ (\to)	→	Функция (отображение)	$f:X\to Y$ означает функцию $f$ с областью определения $X$ и областью значений $Y$.	Функция $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{N}\cup \{0\}$, определённая как $f\left(x\right)=x^2$
		«из … в …»,
$\mapsto$ (\mapsto)	↦	Отображение	$f:x\mapsto f\left(x\right)$ означает, что образом $x$ после применения функции $f$ будет $f\left(x\right)$.	Функцию, определённую как $f\left(x\right)=x^2$, можно записать так: $f:x\mapsto x^2$
		«отображается в»
$\mathbb{N}$ (\mathbb N)	N или ℕ	Натуральные числа	$\mathbb{N}$ означает множество $\{1,2,3,\dots \}$ или реже $\{0,1,2,3,\dots \}$ (в зависимости от ситуации).	$\{\left|a\right||a\in \mathbb{Z}\}=\mathbb{N}$
		«Эн»
$\mathbb{Z}$ (\mathbb Z)	Z или ℤ	Целые числа	$\mathbb{Z}$ означает множество $\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}$	$\{a,-a|a\in \mathbb{N}\}\cup \{0\}=\mathbb{Z}$
		«Зет»
$\mathbb{Q}$ (\mathbb Q)	Q или ℚ	Рациональные числа	$\mathbb{Q}$ означает $\{\frac{p}{q}|p\in \mathbb{Z}\wedge q\in \mathbb{N}\wedge q\ne 0\}$	$3,14\in \mathbb{Q}$ $\pi \notin \mathbb{Q}$
		«Ку»
$ℝ$ (\mathbb R)	R или ℝ	Вещественные (действительные) числа	$ℝ$ означает множество всех пределов последовательностей из $\mathbb{Q}$	$\pi \in ℝ$ $i\notin ℝ$ ($i$ — мнимая единица: $i^2=-1$)
		«Эр»
$ℂ$ (\mathbb C)	C или ℂ	Комплексные числа	$ℂ$ означает множество $\{a+b\cdot i|a\in ℝ\wedge b\in ℝ\}$	$i\in ℂ$
		«Це»
$ℍ$ (\mathbb H)	H или $ℍ$	Кватернионы	$ℍ$ означает множество $\{a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k|a\in ℝ\wedge b\in ℝ\wedge c\in ℝ\wedge d\in ℝ\}$	$j\in ℍ$
		«Аш»

Элементарная алгебра и арифметика

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$+$	+	Сложение	$x+y$ означает «сложение $x$ и $y$»; «прибавить к $x$ число $y$».	$1+2=3$
		«плюс»
$-$	−	Вычитание	$x-y$ означает «вычитание из $x$ числа $y$».	$6-3=3$
		«минус»
$\times$ $\cdot$ $*$	× · *	Умножение	$x\times y$ ($x\cdot y$ или $xy$) означает «$x$ умножить на $y$».	$2\times 4=8$
		«умножить на»
$÷$ $:$ $/$	÷ : /	Деление	$x÷y$ ($x:y$ или $x/y$) означает «$x$ разделить на $y$».	$16÷2=8$
		«разделить на»
$=$	=	Равенство	$x=y$ означает «$x$ и $y$ принимают одно и то же значение».	$x+y=y+x$
		«равно»
$\ne$ (\ne)	≠	Неравенство	$x\ne y$ означает, что $x$ не равен $y$.	$x-y\ne y-x$
		«не равно»
$<$$>$	<>	Сравнение	$x<y$ означает, что $x$ строго меньше $y$. $x>y$ означает, что $x$ строго больше $y$.	$x<y\iff y>x$
		«меньше чем», «больше чем»
$⩽$ или $\le$(\leqslant или \leq)$⩾$ или $\ge$(\geqslant или \geq)	⩽ или ≤ ⩾ или ≥	Сравнение	$x⩽y$ означает, что $x$ меньше или равен $y$. $x⩾y$ означает, что $x$ больше или равен $y$.	$x⩾1\Rightarrow x^2⩾x$ $0⩽x⩽1\Rightarrow x⩽\sqrt{x}$
		«меньше или равно»; «больше или равно»
$\approx$(\approx)	≈	Приблизительное равенство	$e\approx 2,718$ с точностью до 10Шаблон:Sup означает, что 2,718 отличается от $e$ не больше чем на 10Шаблон:Sup.	$\pi \approx 3,1415926$ с точностью до 10Шаблон:Sup.
		«приблизительно равно»
$\propto$(\propto)	∝	Пропорциональность	$a\propto b$ означает, что есть такое число k, что $a=kb$ (тогда говорят, что $k$ — коэффициент пропорциональности).	$U(\theta )\propto e^{-[\frac{\pi \sigma \sin \theta }{\lambda }{]}^2}$
		«пропорционально»
$\sqrt{}$ (\sqrt{}) $\sqrt[n]{}$ (\sqrt[n]{})	√	Арифметический квадратный корень	$\sqrt{x}$ означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт $x$ (равнозначно записи $\sqrt[2]{x}$).	$\sqrt{4}=2$; $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$
		«корень квадратный из …»
	∛ ∜	Кубический корень Корень четвёртой степени	$\sqrt[3]{y}=x$, если $x^3=y$ (то есть $x\cdot x\cdot x=y$ ); $\sqrt[4]{b}=a$, если $a^4=b$ (аналогично $a\cdot a\cdot a\cdot a=b$).	$\sqrt[3]{27}=3$; $\sqrt[4]{16}=2$.
$\mathrm{\infty }$(\infty)	∞	Бесконечность	$+\mathrm{\infty }$ и $-\mathrm{\infty }$ суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.	$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{1}{\left|x\right|}=\mathrm{\infty }$
		«плюс/минус бесконечность»

Общая алгебра

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$◃$	⊲	Нормальная подгруппа, идеал кольца	$H◃G$ означает «$H$ является нормальной подгруппой группы $G$», если $G$ — группа, и «$H$ является (двусторонним) идеалом кольца $G$», если $G$ — кольцо.
		«нормальна в», «… является идеалом …»
$[:]$	[ : ]	Индекс подгруппы, размерность поля	$[G:H]$ означает «индекс подгруппы $H$ в группе $G$», если $G$ — группа, и «размерность поля $H$ над полем $G$», если $G$ и $H$ — поля.
		«индекс … в …», «размерность … над …»
$\times$	×	Прямое произведение групп	$G\times H$ означает «прямое произведение групп $G$ и $H$».
		«прямое произведение … и …»
$\oplus$	⊕	Прямая сумма подпространств	$V=V_1\oplus V_2$ означает «пространство $V$ разлагается в прямую сумму подпространств $V_1$ и $V_2$».
		«прямая сумма … и …»
$[,]$	[ , ]	Коммутатор элементов группы	$[g,h]$ означает «коммутатор элементов $g$ и $h$ группы $G$», то есть элемент $gh{g}^{-1}{h}^{-1}$.
		«коммутатор … и …»
$G^{\prime }$	G'	Коммутант	$G^{\prime }$ означает «коммутант группы $G$».
		«коммутант …»
$⟨{⟩}_n$	⟨ ⟩n	Циклическая группа	$⟨a{⟩}_n$ означает «циклическая группа порядка $n$, порождённая элементом $a$».
		«Циклическая группа порядка $n$, порождённая $a$»
$*$	*	Мультипликативная группа поля	$F^{*}$ означает «мультипликативная группа поля $F$», если $F$ — поле.
		«мультипликативная группа …»

Линейная алгебра

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\otimes$	⊗	Тензорное произведение	$T_1\otimes T_2$ означает «тензорное произведение тензоров $T_1$ и $T_2$».
		«тензорное произведение … и …»
$A^T$	AT	Транспонированная матрица	$A^T$ означает «транспонированная матрица $A$».
		«транспонированная матрица …»
$E_{i,j}$	Ei, j	Матричная единица	$E_{i,j}$ означает «матричная $i,j$-единица», то есть матрица, у которой на месте $(i,j)$ стоит единица, а на остальных местах — нули.
		«матричная единица …»
$*$	*	Сопряжённый оператор Сопряжённое пространство	${𝒜}^{*}$ означает «линейный оператор, сопряжённый к $𝒜$», если $𝒜$ — линейный оператор. $V^{*}$ означает «линейное пространство, сопряжённое к $V$ (дуальное к $V$)», если $V$ — линейное пространство.
		«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»;

Анализ

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
$\mathrm{\infty }$(\infty)	∞	Бесконечность	$+\mathrm{\infty }$ и $-\mathrm{\infty }$ суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, большие/меньшие всех действительных чисел.	$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{1}{\left|x\right|}=\mathrm{\infty }$
		«Плюс/минус бесконечность»
$\int dx$(\int dx)	∫	Интеграл	$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ означает «интеграл от $a$ до $b$ функции $f$ от $x$ по переменной $x$».	$\underset{0}{\overset{b}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{b^3}{3}$;$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$
		«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…»
$\begin{array}{cc}& \frac{df}{dx}\\ & f^{\prime }\left(x\right)\\ \end{array}$	df/dx f'(x)	Производная	$\frac{df}{dx}$ или $f^{\prime }\left(x\right)$ означает «(первая) производная функции $f$ от $x$ по переменной $x$».	$\frac{d\cos x}{dx}=-\sin x$
		«Производная … по …»
$\frac{\partial f(x,y,z,\dots )}{\partial y}$(\partial для ∂)	∂f/∂y	Частная производная	$\frac{\partial f(x,y,z,\dots )}{\partial y}$ означает «(первая) частная производная функции $f$ от переменных $x,y,z,\dots$ по переменной $y$».	$\begin{array}{cc}& \frac{\partial }{\partial y}(x^2\cos xy)=\\ & ={\frac{d}{dy}(x^2\cos xy)|}_{x=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}}\\ & =-x^3\sin xy\\ \end{array}$
		«Частная производная … по …»
$\begin{array}{cc}& \frac{d^{n}f}{d{x}^n}\\ & f^{\left(n\right)}\left(x\right)\\ \end{array}$	dШаблон:Supf/dxШаблон:Sup fШаблон:Sup(x)	Производная $n$-го порядка	$\frac{d^{n}f}{d{x}^n}$ или $f^{\left(n\right)}\left(x\right)$ означает «$n$-я производная функции $f$ по переменной $x$» (при втором способе записи, если $n$ — фиксированное число, то оно пишется либо арабскими цифрами в круглых скобках, либо римскими цифрами без скобок)	${\cos }^{IV}x=\frac{d^4\cos x}{d{x}^4}=\cos x$.
		«$n$-я производная … по …»

Другое

Символ TeX (Команда TeX)	Символ (Юникод)	Название	Значение	Пример
		Произношение
		Раздел математики
$\left|\right|$(\left| \right|)	| |	Абсолютная величина (абсолютное значение) числа или длина (модуль) вектора. В контексте теории множеств может иметь другой смысл — мощность множества	$\left|x\right|$ обозначает абсолютную величину $x$. $|A|$ обозначает мощность множества $A$ и равняется, если $A$ конечно, числу элементов $A$.	$|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$
		«Модуль»; «мощность»
		Числа и Теория множеств
$\sum$(\sum)	∑	Сумма (набора чисел), сумма ряда	$\sum _{k=1}^n{a}_k$ означает «сумма $a_k$, где $k$ принимает значения от 1 до $n$», то есть $a_1+a_2+\dots +a_n$. $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ означает сумму ряда, состоящего из $a_k$.	$\sum _{k=1}^4{k}^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30$
		«Сумма … по … от … до …»
		Арифметика, Математический анализ
$\prod$(\prod)	∏	Произведение (набора чисел), произведение ряда	$\prod _{k=1}^n{a}_k$ означает «произведение $a_k$ для всех $k$ от 1 до $n$», то есть $a_1\cdot a_2\cdot \dots \cdot a_n$	$\prod _{k=1}^4(k+2)=3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=360$
		«Произведение … по … от … до …»
		Арифметика, Математический анализ
$!$	!	Факториал	$n!$ означает произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно, то есть $1\cdot 2\cdot \dots \cdot n$	$n!=\prod _{k=1}^{n}k=(n-1)!n$; $0!=1$; $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$;
		«$n$ факториал»
		Комбинаторика

См. также

• Таблица обозначений абстрактной алгебры
• История математических обозначений
• Список математических аббревиатур
• Список обозначений в физике

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ