Икосаэдральная симметрия

Фундаментальные области икосаэдральной симметрии

Футбольный мяч, пример сферического усечённого икосаэдра, имеет полную икосаэдральную симметрию.

Правильный икосаэдр имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и имеет Шаблон:Не переведено 5 120, включая преобразования, которые комбинируют отражение и вращение. Правильный додекаэдр имеет тот же набор симметрий, поскольку он двойственен икосаэдру.

Набор сохраняющих ориентацию симметрий образует группу, которую обозначают A₅ (знакопеременная группа на 5 буквах), а полная группа симметрии (включающая отражения) является произведением A₅ $\times$ Z₂. Последняя группа известна также как группа Коксетера H₃ и представляется в Шаблон:Не переведено 5 как [5,3] и имеет диаграмму Коксетера — Дынкина Шаблон:CDD.

Как точечная группа

Кроме двух бесконечных семейств призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдральная симметрия или хиральная икосаэдральная симметрия хиральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдральная симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, эквивалентно, симметриями на сфере) с наибольшей группой симметрии.

Икосаэдральная симметрия не совместима с трансляционной симметрией, так что нет ассоциированных кристаллографических точечных групп или кристаллографических групп.

Шёнфлис	Шаблон:Не переведено 5		Шаблон:Не переведено 5	Абстрактная структура	Шаблон:Не переведено 5
I	[5,3]+	Шаблон:CDD	532	A5	60
Ih	[5,3]	Шаблон:CDD	*532	$A_5\times 2$	120

Задания групп, соответствующие описанным выше:

$I:⟨s,t\mid s^2,t^3,(st{)}^5⟩$

$I_h:⟨s,t\mid s^3(st{)}^{-2},t^5(st{)}^{-2}⟩.$

Это соответствует икосаэдральным группам (вращения и полным), которые являются (2,3,5) группами треугольника.

Первое задание группы дал Гамильтон в 1856 году в своей статье по икосианамШаблон:Sfn.

Заметим, что возможны другие задания, как, например, знакопеременная группа (для I).

Визуализация

Шёнфлис (Шаблон:Не переведено 5)	Шаблон:Не переведено 5	Элементы	Зеркальные диаграммы
			Ортогональная	Стереографическая проекция
Ih (*532)	Шаблон:CDD Шаблон:CDD [5,3]	Зеркальных линий: 15 Шаблон:CDD
I (532)	Шаблон:CDD [5,3]+	Точек вращения: 125 203 302

Структура группы

Рёбра сферического соединения пяти октаэдров представляют 15 плоскостей зеркального отражения в виде больших цветных окружностей. Каждый октаэдр может представлять 3 ортогональных плоскостей зеркального отражения по его рёбрам.
Пиритоэдральная симметрия является подгруппой с индексом 5 икосаэдральной симметрии, с 3 ортогональными зелёными линиями отражений и 8 красных порядка 3 точек вращения. Поскольку подгруппа имеет индекс 5, имеется 5 других ориентаций пиритоэдральной симметрии.

Группа вращений икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна группе A₅, знакопеременной группе чётных перестановок из пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путём действия I на различные соединения, в частности на Шаблон:Не переведено 5 (которое вписано в двенадцатигранник), соединение пяти октаэдров, или одно из двух соединений пяти тетраэдров (которые энантиоморфны и вписаны в двенадцатигранник).

Группа содержит 5 версий T_h с 20 версиями D₃ (10 осей, 2 на ось), и 6 версий D₅.

Полная икосаэдральная группа I_h имеет порядок 120. I является нормальной подгруппы группы I_h индекса 2. Группа I_h изоморфна $I\times Z_2$, или $A_5\times Z_2$, с центральной симметрией, соответствующей (1,-1), где Z₂ записывается мультипликативно.

I_h действует на Шаблон:Не переведено 5 и соединение пяти октаэдров, но −1 действует как тождественный элемент (так как кубы и октаэдры центрально симметричны). Группа действует на соединение десяти тетраэдров — I действует на две хиральные половинки (cоединения пяти тетраэдров), а −1 обменивает местами две половинки. В частности, она не действует как S₅ и эти группы не изоморфны, смотрите ниже.

Группа содержит 10 версий D_3d и 6 версий D_5d (симметрии аналогичные антирпизимам).

I изоморфна также группе PSL₂(5), но I_h не изоморфна SL₂(5).

Группы, которые часто путают с группой симметрий икосаэдра

Следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны друг другу:

• S₅, симметрическая группа 5 элементов
• I_h, полная икосаэдральная группа (предмет данной статьи, известная также как H₃)
• 2I, бинарная группа икосаэдра

Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не разбивается) и произведению

$1\to A_5\to S_5\to Z_2\to 1$

$I_h=A_5\times Z_2$

$1\to Z_2\to 2I\to A_5\to 1$

Иными словами,

• $A_5$ является нормальной подгруппой группы $S_5$
• $A_5$ является факторгруппой группы $I_h$, которая является прямым произведением
• $A_5$ является факторгруппой группы $2I$

Заметим, что $A_5$ имеет Шаблон:Не переведено 5 неприводимое 3-мерное представление (как икосаэдральная группа вращений), но $S_5$ не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной икосаэдральной группе, не являющейся симметрической группой.

Их можно соотнести с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые представляют собой подгруппы накрывающих групп прямо. Ни одна из них не является полной икосаэдральной группой:

• $A_5\cong \mathrm{PSL}(2,5),$ проективная специальная линейная группа;
• $S_5\cong \mathrm{PGL}(2,5),$ проективная полная линейная группа;
• $2I\cong \mathrm{SL}(2,5),$ cпециальная линейная группа.

Классы сопряжённости

Классы сопряжённости

I	Ih
Тождество $12\times$ вращение на 72°, порядок 5 $12\times$ вращение на 144°, порядок 5 $20\times$ вращение на 120°, порядок 3 $15\times$ вращение на 180°, порядок 2	Отражение $12\times$ зеркальное отражение с вращением на 108°, порядок 10 $12\times$ зеркальное отражение с вращением на 36°, порядок 10 $20\times$ r зеркальное отражение с вращением на 60°, порядок 6 $15\times$ зеркальное отражение, порядок 2

Явное представление матрицами вращений

В контексте вычислений, группа икосаэдральных вращений $I$, описанная выше, может быть представлена следующими 60 матрицами поворота. Оси вращений соответствуют всем циклическим перестановкам $(\pm 1,0,\pm \varphi )$, где $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ является золотым сечением. Отражение относительно любой плоскости, проходящей через начало координат, дают полную икосаэдральную группу $I_h$. Все эти матрицы могут быть получены, начав с единичной матрицы, последовательным умножением каждой матрицы в наборе на любые из двух произвольных невырожденных матриц, таких как $R_6$ и $R_{58}$, пока размер множества не перестанет расти.

$R_1=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$R_2=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

$R_3=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_4=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_5=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_6=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_7=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_8=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_9=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{10}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{11}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{12}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{13}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{14}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{15}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{16}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{17}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{18}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{19}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{20}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{21}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{22}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{23}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{24}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{25}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{26}=\left[\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{27}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ -1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$

$R_{28}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

$R_{29}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& 1\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$

$R_{30}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& -1\\ -1& 0& 0\end{array}\right]$

$R_{31}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$

$R_{32}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$

$R_{33}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 1& 0& 0\\ 0& -1& 0\end{array}\right]$

$R_{34}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

$R_{35}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{36}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{37}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{38}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{39}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{40}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{41}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{42}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$

$R_{43}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{44}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{45}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{46}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{47}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{48}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{49}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{50}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\\ \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\end{array}\right]$

$R_{51}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{52}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{53}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{54}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{55}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{56}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{57}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}& -\frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{58}=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2\varphi }& \frac{1}{2}& \frac{\varphi }{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{\varphi }{2}& \frac{1}{2\varphi }\end{array}\right]$

$R_{59}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$

$R_{60}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Подгруппы с полной икосаэдральной симметрией

Связь подгрупп

Связь хиральных подгрупп

Шёнфлис	Шаблон:Не переведено 5		Шаблон:Не переведено 5	Г-М	Структура	Циклы	Порядок	Индекс
Ih	[5,3]	Шаблон:CDD	*532	Шаблон:Overline2/m	A5$\times Z_2$		120	1
D2h	[2,2]	Шаблон:CDD	*222	mmm	Dih2$\times {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_1={\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_1^3$		8	15
C5v	[5]	Шаблон:CDD	*55	5m	Dih5		10	12
C3v	[3]	Шаблон:CDD	*33	3m	Dih3=S3		6	20
C2v	[2]	Шаблон:CDD	*22	2mm	Dih2=Dih12		4	30
Cs	[ ]	Шаблон:CDD	*	Шаблон:Overline or m	Dih1		2	60
Th	[3+,4]	Шаблон:CDD	3*2	mШаблон:Overline	$A_4\times Z_2$		24	5
D5d	[2+,10]	Шаблон:CDD	2*5	Шаблон:Overlinem2	${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_{10}=Z_2\times {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_5$		20	6
D3d	[2+,6]	Шаблон:CDD	2*3	Шаблон:Overlinem	${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_6=Z_2\times {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_3$		12	10
$D_{1d}=C_{2h}$	[2+,2]	Шаблон:CDD	2*	2/m	Dih2=Z2$\times {\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_1$		4	30
S10	[2+,10+]	Шаблон:CDD	$5\times$	Шаблон:Overline	$Z_{10}=Z_2\times Z_5$		10	12
S6	[2+,6+]	Шаблон:CDD	$3\times$	Шаблон:Overline	$Z_6=Z_2\times Z_3$		6	20
S2	[2+,2+]	Шаблон:CDD	$\times$	Шаблон:Overline	$Z_2$		2	60
I	[5,3]+	Шаблон:CDD	532	532	A5		60	2
T	[3,3]+	Шаблон:CDD	332	332	A4		12	10
D5	[2,5]+	Шаблон:CDD	522	522	Dih5		10	12
D3	[2,3]+	Шаблон:CDD	322	322	Dih3=S3		6	20
D2	[2,2]+	Шаблон:CDD	222	222	${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{h}}_2=Z_2^2$		4	30
C5	[5]+	Шаблон:CDD	55	5	$Z_5$		5	24
C3	[3]+	Шаблон:CDD	33	3	$Z_3=A_3$		3	40
C2	[2]+	Шаблон:CDD	22	2	$Z_2$		2	60
C1	[ ]+	Шаблон:CDD	11	1	$Z_1$		1	120

Все эти классы подгрупп сопряжены (то есть все стабилизаторы вершин сопряжены) и допускают геометрическую интерпретацию.

Заметим, что стабилизатор вершины/ребра/грани/многогранника и его противоположный равны.

Стабилизаторы вершин

Стабилизаторы противоположных пар вершин можно интерпретировать как стабилизаторы осей, которые они образуют.

• стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C₃
• стабилизаторы вершин в I_h дают Шаблон:Не переведено 5 D₃
• стабилизаторы противоположных пар вершин в I дают диэдральные группы D₃
• стабилизаторы противоположных пар вершин в I_h дают $D_3\times \pm 1$

Стабилизаторы рёбер

Стабилизаторы противоположных пар рёбер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они образуют.

• Стабилизаторы рёбер в I дают циклические группы Z₂
• Стабилизаторы рёбер в I_h дают четверные группы Клейна $Z_2\times Z_2$
• стабилизаторы пар рёбер в I дают четверные группы Клейна $Z_2\times Z_2$. Существует 5 из них, задаваемых вращением на 180° в 3 перпендикулярных осях.
• стабилизаторы пар рёбер в I_h дают $Z_2\times Z_2\times Z_2$. Существует 5 таких, и они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей.

Стабилизаторы граней

Стабилизаторы противоположных пар граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы, которую они порождают.

• стабилизаторы граней в I дают циклические группы C₅
• стабилизаторы граней в I_h дают диэдральные группы D₅
• стабилизаторы противоположных пар граней в I дают диэдральные группы D₅
• стабилизаторы противоположных пар граней в I_h дают $D_5\times \pm 1$

Стабилизаторы многогранников

Для каждого из них есть 5 сопряжённых копий и операция сопряжения образует отображение, фактически, изоморфизм $I\stackrel{\sim }{\to }{A}_5<S_5$.

• стабилизаторы вписанного тетраэдра в I являются копией T
• стабилизаторы вписанного тетраэдра в I_h являются копией T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I являются копиями T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположные пары тетраэдров или октаэдров) в I_h являются копиями T_h

Фундаментальная область

Фундаментальные области для икосаэдральной группы вращений и полная икосаэдральная группа задаются как:

икосаэдральная группа вращений I

Полная икосаэдральная группа Ih

Грани гекзакисикосаэдра являются фундаментальными областями

В гекзакисикосаэдре одна полная грань является фундаментальной областью. Другие тела с той же симметрией могут быть получены путём настройкой ориентации граней, например, выравниванием выбранного подмножества граней с последующим объединением каждого подмножества в грань, или путём замены каждой грани на несколько граней, или путём создания неплоской поверхности.

Многогранники с икосаэдральной симметрией

Хиральные многогранники

Класс	Символы	Рисунок
Архимедовы	sr{5,3} Шаблон:CDD
Каталановы	V3.3.3.3.5 Шаблон:CDD

Полная икосаэдральная симметрия

Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Архимедовы тела
{5,3} Шаблон:CDD	{5/2,5} Шаблон:CDD	{5/2,3} Шаблон:CDD	t{5,3} Шаблон:CDD	t{3,5} Шаблон:CDD	r{3,5} Шаблон:CDD	rr{3,5} Шаблон:CDD	tr{3,5} Шаблон:CDD
Правильный многогранник	Тела Кеплера — Пуансо		Каталановы тела
{3,5} Шаблон:CDD=Шаблон:CDD	{5,5/2} Шаблон:CDD=Шаблон:CDD	{3,5/2} Шаблон:CDD=Шаблон:CDD	V3.10.10 Шаблон:CDD	V5.6.6 Шаблон:CDD	V3.5.3.5 Шаблон:CDD	V3.4.5.4 Шаблон:CDD	V4.6.10 Шаблон:CDD

Другие объекты с икосаэдральной симметрией

• Шаблон:Не переведено 5
• Структура вируса и Капсиды
• В химии ион Шаблон:Не переведено 5 ([B₁₂H₁₂]²⁻) и молекула додекаэдрана (C₂₀H₂₀)

Жидкие кристаллы с икосаэдральной симметрией

Для промежуточного стояния вещества, называемого жидкими кристаллами, существование икосаэдральной симметрии предположили Х. Кляйнерт и К. МакиШаблон:Sfn и впервые детально проанализировали структуру этих кристаллов. См. обзор статьи здесь. В алюминии икосаэдральную структуру обнаружил тремя годами позже Дан Шехтман, что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии

Группа симметрий икосаэдра эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5). Помимо этого, группа PSL(2,p) является группой симметрии модулярной кривой X(p). Модулярная кривая X(5) геометрически является двенадцатигранником с каспом в центре каждой грани и имеет соответствующую группу симметрии.

Эту геометрию и ассоциированную группу симметрии изучал Феликс Кляйн как группы монодромии поверхности Белого — римановы поверхности с голоморфным отображением в риманову сферу, разветвлённым в 0, 1 и бесконечности — каспы являются точками на бесконечности, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат на 0 и 1. Степень накрытия (число листов) равно 5.

Это возникает из его попыток дать геометрическое обоснование, почему икосаэдральная симметрия появляется в решении уравнения пятой степени в теории из знаменитой статьи КляйнаШаблон:Sfn. Современное описание дано в статье ТотаШаблон:Sfn.

Исследования Кляйна продолжились с его открытием симметрий 7 и 11 порядков в статьях 1878-1879 годовШаблон:SfnШаблон:Sfn (и ассоциированных накрытий степени 7 и 11) и Шаблон:Не переведено 5 (так называемых «детских рисунков»), давших первые появления Шаблон:Не переведено 5, ассоциированная геометрия которых имеет мозаику из 24 семиугольников (с каспом в центре каждого семиугольника).

Подобные геометрии случаются для групп PSL(2,n) и более общих групп для других модулярных кривых.

Более экзотичное проявление, существует особая связь между группами PSL(2,5) (порядка 60), PSL(2,7) (порядка 168) и PSL(2,11) (порядка 660), которые также допускают геометрические интерпретации — PSL(2,5) является симметриями икосаэдра (род 0), PSL(2,7) — Шаблон:Не переведено 5 (род 3), а PSL(2,11) — поверхности фуллерона (род 70). Эти группы образуют «троицу» в терминологии В. И. Арнольда, что даёт основу для различных связей. См. подробнее в статье «Троицы».

Также группа симметрий икосаэдра тесно связана с другими группами симметрий правильных многогранников.

См. также

• Тетраэдральная симметрия
• Шаблон:Не переведено 5
• Бинарная группа икосаэдра
• Икосианы

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья Перевод на английский
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья Oeuvres, Tome 3, pp. 140—165
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• THE SUBGROUPS OF W(H3) (Подгруппы других групп Коксетера) Gotz Pfeiffer