Класс Чженя

Классы Чженя (или класс Черна) — это характеристические классы, ассоциированные с Шаблон:Не переведено 5 векторными расслоениями.

Классы Чженя ввёл Шиинг-Шен ЧженьШаблон:Sfn.

Геометрический подход

Базовая идея и предпосылки

Классы Чженя — это характеристические классы. Они являются топологическими инвариантами, ассоциированными с векторными расслоениями на гладких многообразиях. Вопрос, являются ли два внешне различные векторные расслоения одним и тем же расслоением может оказаться достаточно сложной задачей. Классы Чженя дают простой тест — если классы Чженя пары векторных расслоений не согласуются, векторные расслоения различны. Обратное, однако, не верно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, как много линейно независимых сечений имеет векторное расслоение. Классы Чженя дают некоторую информацию об этом посредством, например, теоремы Римана — Роха и теоремы Атьи — Зингера об индексе.

Классы Чженя также удобны для практических вычислений. В дифференциальной геометрии (и некоторых типах алгебраической геометрии), классы Чженя можно выразить как многочлены от коэффициентов формы кривизны.

Построение классов Чженя

Существуют различные подходы к классам, каждый из которых фокусируется на слегка различных свойствах классов Чженя.

Исходным подходом к классам Чженя был подход со стороны алгебраической топологии — классы Чженя возникают через теорию гомотопии, которая позволяет построить ассоциированное с расслоением V отображение многообразия в Шаблон:Не переведено 5 (бесконечный грассманиан в этом случае). Для любого векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство, такое что расслоение V равно прообразу (относительно f) универсального расслоения над классифицирующим пространством, а классы Чженя расслоения V можно поэтому определить как прообразы классов Чженя универсального расслоения. Эти универсальные классы Чженя, в свою очередь, можно выписать явно в терминах Шаблон:Не переведено 5.

Можно показать, что два отображения f и g из M в классифицирующее пространство, прообразы относительно которых являются тем же самым расслоением V, должны быть гомотопными. Таким образом, прообразы относительно f и g любого универсального класса Чженя в классе когомологий многообразия M должны быть одним и тем же классом. Это показывает, что классы Чженя расслоения V корректно определены.

Подход Чженя опирается на дифференциальную геометрию через описанное в этой статье использование кривизны. Чжень показал, что более раннее определение было, фактически, эквивалентно его определению. Получившаяся теория известна как Шаблон:Не переведено 5.

Существует также подход Александра Гротендика, показавшего, что аксиоматически достаточно определить только классы линейных расслоений.

Классы Чженя возникают естественным образом в алгебраической геометрии. Обобщённые классы Чженя в алгебраической геометрии можно определить для векторных расслоений (или, более точно, локально свободных пучков) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Чженя не накладывают ограничений на основное поле. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными.

Независимо от исходной парадигмы интуитивное значение класса Чженя касается 'нулей' сечений векторного расслоения. Например, теорема, утверждающая, что нельзя причесать шар с волосами (теорема о причёсывании ежа). Хотя, строго говоря, вопрос относится к вещественному векторному расслоению («волосы» на шаре являются копиями вещественной прямой), существуют обобщения, в которых «волосы» комплексны (см. пример комплексной теоремы о причёсывании ежа ниже), или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

Класс Чженя линейных расслоений

(Пусть X — топологическое пространство, имеющее гомотопический тип CW-комплекса.)

Важный частный случай возникает, когда V является Шаблон:Не переведено 5. Тогда единственный нетривиальный класс Чженя - это первый класс Чженя, который является элементом второй группы когомологий пространства X. Будучи старшим классом Чженя, он равен Шаблон:Не переведено 5 расслоения.

Первый класс Чженя оказывается Шаблон:Не переведено 5, по которому классифицируются комплексные линейные расслоения в топологической категории. То есть, существует биекция между классами изоморфных линейных расслоений над X и элементами H²(X;Z), которое связывает с линейным расслоением его первый класс Чженя. Более того, эта биекция является гомоморфизмом групп (то есть изоморфизмом):

$c_1(L\otimes L^{\prime })=c_1(L)+c_1(L^{\prime })$;

тензорное произведение комплексных линейных расслоений соответствует сложению во второй когомологической группеШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфных) комплексных линейных расслоений по первому классу Чженя является грубой аппроксимацией классификации (классов изоморфных) Шаблон:Не переведено 5 по классам линейно эквивалентных дивизоров.

Для комплексных векторных расслоений с размерностью выше единицы классы Чженя не являются полными инвариантами.

Построения

С помощью теории Чженя — Вейля

Если задано комплексное Шаблон:Не переведено 5 векторное расслоение V комплексного ранга n над дифференцируемым многообразием M, представитель каждого класса Чженя (который называется формой Чженя) c_k(V) расслоения V задаётся при помощи коэффициентов характеристического многочлена формы кривизны $\mathrm{\Omega }$ расслоения V.

$det(\frac{it\mathrm{\Omega }}{2\pi }+E)=\sum _k{c}_k(V)t^k$

Детерминант берётся над кольцом матриц n × n, элементы которых являются многочленами от t с коэффициентами из коммутативной алгебры чётных комплексных дифференциальных форм на M. Форма кривизны $\mathrm{\Omega }$ расслоения V определяется выражением

$\mathrm{\Omega }=d\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]$

где $\omega$ — форма связности, а d — внешний дифференциал, или тем же выражением, в котором $\omega$ является калибровочной формой для калибровочной группы для расслоения V. Скаляр t используется только как Шаблон:Не переведено 5 переменная для генерации суммы из определителя, а E означает единичную матрицу размера n × n.

Слова, что данное выражение даёт представителя класса Чженя означают, что 'класс' здесь определён с точностью до Шаблон:Не переведено 5. То есть, классы Чженя являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама. Можно показать, что класс когомологий форм Чженя не зависит от выбора связности в V.

Используя матричное тождество tr(ln(X))=ln(det(X)) и ряд Маклорена для ln(X+I), это выражение для формы Чженя разворачивается в

$\sum _k{c}_k(V)t^k=[I+i\frac{\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Omega })}{2\pi }t+\frac{\mathrm{t}\mathrm{r}({\mathrm{\Omega }}^2)-\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Omega }{)}^2}{8{\pi }^2}{t}^2+i\frac{-2\mathrm{t}\mathrm{r}({\mathrm{\Omega }}^3)+3\mathrm{t}\mathrm{r}({\mathrm{\Omega }}^2)\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Omega })-\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathrm{\Omega }{)}^3}{48{\pi }^3}{t}^3+\cdots ].$

С помощью класса Эйлера

Можно определить класс Чженя в терминах класса Эйлера. Этот подход используется в книге Милнора и СташефаШаблон:Sfn и подчёркивает роль Шаблон:Не переведено 5.

Основное наблюдение заключается в том, что Шаблон:Не переведено 5 обладает канонической ориентацией из-за того, что $G{L}_n(ℂ)$ связна. Следовательно, можно определить старший класс Чженя расслоения как его класс Эйлера и работать с остальными классами Чженя по индукции.

Точная конструкция следующая. Идея заключается в изменении базиса для получения расслоения на единицу меньшего ранга. Пусть $\pi :E\to B$ является комплексным векторным расслоением над паракомпактным пространством B. Рассматриваем B как вложенное в E нулевое сечение, полагаем $B^{\prime }=E-B$ и определяем новое векторное расслоение:

$E^{\prime }\to B^{\prime },$

слой которого является фактором слоя F расслоения E по прямой, натянутой на вектор v в F (точка в B' определяется слоем F расслоения E и ненулевым вектором из F.). Тогда E' имеет ранг на единицу меньше, чем ранг E. Из Шаблон:Не переведено 5 для расслоения $\pi {|}_{B^{\prime }}:B^{\prime }\to B$:

$\cdots \to {\mathrm{H}}^k(B;\mathbb{Z})\stackrel{\pi {|}_{B^{\prime }}^{\ast }}{\to }{\mathrm{H}}^k(B^{\prime };\mathbb{Z})\to \cdots ,$

мы видим, что $\pi {|}_{B^{\prime }}^{\ast }$ является изоморфизмом для k < 2n − 1. Пусть

$c_k(E)=\{\begin{array}{cc}{\pi {|}_{B^{\prime }}^{\ast }}^{-1}{c}_k(E^{\prime }),& k<n\\ e(E_{ℝ}),& k=n\\ 0,& k>n.\end{array}$

Нужна ещё некоторая работа, чтобы проверить выполнение аксиом классов Чженя для такого определения.

Примеры

Комплексное касательное расслоение сферы Римана

Пусть $ℂ{\mathrm{P}}^1$ — сфера Римана, 1-мерное Шаблон:Не переведено 5. Предположим, что z является голоморфной локальной координатой на сфере Римана. Пусть $V=Tℂ{\mathrm{P}}^1$ — пучок комплексных касательных векторов, имеющих вид a∂/∂z в каждой точке, где a является комплексным числом. Мы докажем комплексную версию теоремы о причёсывании ежа: V не имеет не обращающихся в ноль сечений.

Для этого нам нужен следующий факт: первый класс Чженя тривиального расслоения равен нулю, то есть,

$c_1({ℂ\mathrm{P}}^1\times ℂ)=0.$

Это следует из того, что тривиальное расслоение всегда обладает плоской связностью.

Покажем, что

$c_1(V)≠0.$

Рассмотрим кэлерову метрику

$h=\frac{dzd\overline{z}}{(1+|z{|}^2{)}^2}.$

Можно показать, что 2-форма кривизны задаётся выражением

$\mathrm{\Omega }=\frac{2dz\wedge d\overline{z}}{(1+|z{|}^2{)}^2}.$

Кроме того, по определению первого класса Чженя

$c_1=\left[\frac{i}{2\pi }\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{\Omega }\right].$

Мы должны показать, что этот класс когомологий ненулевой. Для этого достаточно вычислить интеграл по сфере Римана:

$\int c_1=\frac{i}{\pi }\int \frac{dz\wedge d\overline{z}}{(1+|z{|}^2{)}^2}=2$

после перехода к полярной системе координат. По теореме Стокса интеграл от Шаблон:Не переведено 5 должен равняться 0, так что класс когомологий ненулевой.

Это доказывает, что $Tℂ{\mathrm{P}}^1$ не является тривиальным векторным расслоением.

Комплексное проективное пространство

Существует точная последовательность расслоений:

$0\to {𝒪}_{ℂ{𝐏}^n}\to {𝒪}_{ℂ{𝐏}^n}(1{)}^{\oplus (n+1)}\to Tℂ{𝐏}^n\to 0,$

где ${𝒪}_{ℂ{𝐏}^n}$ является структурным пучком (то есть тривиальным линейным расслоением), ${𝒪}_{ℂ{𝐏}^n}(1)$ является скручивающим пучком Серра (то есть Шаблон:Не переведено 5), а последний ненулевой член является касательным пучком/расслоением.

Имеется два пути получения вышеупомянутой последовательности:

Ввиду аддитивности полного класса Чженя c = 1 + c₁ + c₂ + … (то есть формулы суммы Уитни),

$c(ℂ{𝐏}^n)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}c(Tℂ{𝐏}^n)=c({𝒪}_{ℂ{𝐏}^n}(1){)}^{n+1}=(1+a{)}^{n+1}$,

где a — канонический генератор группы когомологий $H^2(ℂ{𝐏}^n,\mathbb{Z})$. То есть взятое со знаком минус значение первого класса Чженя Шаблон:Не переведено 5 ${𝒪}_{ℂ{𝐏}^n}(-1)$ (замечание: $c_1(E^{\ast })=-c_1(E)$, когда E^* является двойственным для E.)

В частности, для любого $k⩾0$,

$c_k(ℂ{𝐏}^n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k})a^k.$

Многочлен Чженя

Многочлен Чженя является удобным способом работы с классами Чженя и связанными понятиями. По определению, для комплексного векторного расслоения E, многочлен Чженя c_t расслоения E задаётся равенством:

$c_t(E)=1+c_1(E)t+\cdots +c_n(E)t^n.$

Это не новый инвариант — формальная неизвестная t просто отражает степень c_k(E). В частности, $c_t(E)$ полностью определён полным классом Чженя расслоения E — $c(E)=1+c_1(E)+\cdots +c_n(E)$.

Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Чженя (см. ниже), утверждает, что c_t аддитивно в смысле:

$c_t(E\oplus E^{\prime })=c_t(E)c_t(E^{\prime }).$

Теперь, если $E=L_1\oplus \cdots \oplus L_n$ является прямой суммой (комплексных) линейных расслоений, то из формулы суммы Уитни следует:

$c_t(E)=(1+a_1(E)t)\cdots (1+a_n(E)t)$

где $a_i(E)=c_1(L_i)$ — это первые классы Чженя. Корни $a_i(E)$, называются корнями Чженя расслоения E и они определяют коэффициенты многочлена. То есть,

$c_k(E)={\sigma }_k(a_1(E),\dots ,a_n(E))$

где ${\sigma }_k$ — Шаблон:Не переведено 5. Другими словами, если считать a_i формальными переменными, c_k «равны» ${\sigma }_k$. Основной факт о симметрических многочленах заключается в том, что любой симметрический многочлен от, скажем, t_i является многочленом от элементарных симметричных многочленов от t_i. Согласно Шаблон:Не переведено 5 или из теории колец, любой многочлен Чженя $c_t(E)$ разлагается на линейные множители после увеличения кольца когомологий. Поэтому E не обязательно должно быть прямой суммой линейных расслоений. Вывод

«Можно вычислить любой симметрический многочлен f от комплексного векторного расслоения E путём записи f в виде многочлена от ${\sigma }_k$ с последующей заменой ${\sigma }_k$ на $c_k(E)$.»

Пример: У нас есть многочлены s_k

$t_1^k+\cdots +t_n^k=s_k({\sigma }_1(t_1,\dots ,t_n),\dots ,{\sigma }_k(t_1,\dots ,t_n))$

с $s_1={\sigma }_1,s_2={\sigma }_1^2-2{\sigma }_2$ и так далее (см. Тождества Ньютона). Сумма

$\mathrm{ch}(E)=e^{a_1(E)}+\cdots +e^{a_n(E)}=\sum s_k(c_1(E),\dots ,c_n(E))/k!$

называется характером Чженя расслоения E, первыми несколькими членами которого являются: (мы опускаем в обозначениях E)

$\mathrm{ch}(E)=\mathrm{rk}+c_1+\frac{1}{2}(c_1^2-2c_2)+\frac{1}{6}(c_1^3-3c_1{c}_2+3c_3)+\cdots .$

Пример: Класс Тодда расслоения E задаётся выражением:

$\begin{array}{cc}\mathrm{td}(E)& =\prod _1^n\frac{a_i}{1-e^{-a_i}}=1+\frac{1}{2}{c}_1+\frac{1}{12}(c_1^2+c_2)+\cdots .\end{array}$

Замечание: Наблюдение, что класс Чженя является, по существу, элементарным симметрическим многочленом можно использовать для «определения» классов Чженя. Пусть G_n — Шаблон:Не переведено 5 n-мерных комплексных векторных пространств. Он является Шаблон:Не переведено 5 в том смысле, что если задано комплексное векторное расслоение E ранга n над X, существует непрерывное отображение

$f_E:X\to G_n,$

единственное с точностью до гомотопии. Шаблон:Не переведено 5 утверждает, что кольцо когомологий грассманиана G_n — это в точности кольцо симметрических многочленов, которые являются многочленами от элементарных симметричных многочленов ${\sigma }_k$. Таким образом, для прообраза f_E

$f_E^{\ast }:\mathbb{Z}[{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n]\to H^{\ast }(X,\mathbb{Z}).$

Откуда

$c_k(E)=f_E^{\ast }({\sigma }_k).$

Замечание: Любой характеристический класс является многочленом от классов Чженя по следующим причинам. Пусть ${\mathrm{Vect}}_n^{ℂ}$ является контравариантным функтором, который сопоставляет CW-комплексу X множество классов изоморфных комплексных векторных расслоений ранга n над X. По определению, характеристический класс является естественным преобразованием из ${\mathrm{Vect}}_n^{ℂ}=[-,G_n]$ в функтор когомологий $H^{\ast }(-,\mathbb{Z}).$ Характеристические классы образуют кольцо ввиду кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды утверждает, что кольцо характеристических классов является в точности кольцом когомологий грассманиана G_n:

$\mathrm{Nat}([-,G_n],H^{\ast }(-,\mathbb{Z}))=H^{\ast }(G_n,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n].$

Свойства классов Чженя

Если дано Шаблон:Не переведено 5 векторное расслоение E над топологическим пространством X, классы Чженя расслоения E — это последовательность элементов когомологий пространства X. k-ый класс Чженя расслоения E, который обычно обозначается через c_k(V), является элементом

H^2k(X;Z),

когомологий пространства X с целыми коэффициентами. Можно также определить полный класс Чженя

$c(E)=c_0(E)+c_1(E)+c_2(E)+\cdots .$

Поскольку значения располагаются в целочисленных группах когомологий, а не в когомологиях с вещественными коэффициентами, эти классы Чженя слегка более чётки, по сравнению с классами в римановом примере.

Классическое аксиоматическое определение

Классы Чженя удовлетворяют следующим четырём аксиомам:

Аксиома 1. $c_0(E)=1$ для всех расслоений E.

Аксиома 2. Естественность: Если $f:Y\to X$ является непрерывным и f*E является индуцированным векторным расслоением расслоения E, то $c_k(f^{\ast }E)=f^{\ast }{c}_k(E)$.

Аксиома 3. Формула суммы Уитни: Если $F\to X$ является другим комплексным векторным расслоением, то классы Чженя прямой суммы $E\oplus F$ задаются выражением

$c(E\oplus F)=c(E)⌣c(F);$

то есть,

$c_k(E\oplus F)=\sum _{i=0}^k{c}_i(E)⌣c_{k-i}(F).$

Аксиома 4. Нормализация: Полный класс Чженя Шаблон:Не переведено 5 над CP^k равен 1−H, где H двойственен по Пуанкаре гиперплоскости $ℂ{\mathrm{P}}^{k-1}\subseteq ℂ{\mathrm{P}}^k$.

Аксиоматический подход Александра Гротендика

Альтернативно, ГротендикШаблон:Sfn заменил эти аксиомы чуть меньшим числом аксиом:

• Естественность: (То же, что и выше)
• Аддитивность: Если $0\to E^{\prime }\to E\to E^{″}\to 0$ является точной последовательностью векторных расслоений, то $c(E)=c(E^{\prime })⌣c(E^{″})$.
• Нормализация: Если E является Шаблон:Не переведено 5, то $c(E)=1+e(E_{𝐑})$, где $e(E_{𝐑})$ — Шаблон:Не переведено 5 лежащего в основе вещественного векторного расслоения.

Он показал, используя Шаблон:Не переведено 5, что полный класс Чженя комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определён в терминах первого класса Чженя тавтологически определённого линейного расслоения.

А именно, введя проективизацию P(E) комплексного векторного расслоения $E\to B$ ранга n как расслоение на B, слой которого в произвольной точке $b\in B$ является проективным пространством слоя E_b. Тотальное пространство этого расслоения P(E) снабжено его тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначаем $\tau$, а первый класс Чженя

$c_1(\tau )=:-a$

ограничивается на каждом слое P(E_b) на взятый со знаком минус класс (двойственный по Пуанкаре) гиперплоскости, который порождает когомологии слоя.

Классы

$1,a,a^2,\dots ,a^{n-1}\in H^{\ast }(𝐏(E))$,

таким образом, образуют семейство классов когомологий, ограничивающихся на базис когомологий слоя. Шаблон:Не переведено 5 утверждает, что любой класс в H*(P(E)) можно записать единственным образом как линейную комбинацию 1, a, a², …, aⁿ⁻¹ с классами на базисе в качестве коэффициентов.

В частности, можно определить классы Чженя расслоения E в смысле Гротендика, которые обозначаются как $c_1(E),\dots c_n(E)$ раскладывая класс $-a^n$ таким образом:

$-a^n=c_1(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_n(E).$

Можно проверить, что это альтернативное определение совпадает с любым другим определением.

Старший класс Чженя

Фактически, эти свойства однозначно определяют классы Чженя. Из них вытекает, среди прочего:

• Если n является комплексным рангом V, то $c_k(V)=0$ для всех k > n. Таким образом, полный класс Чженя обрывается.
• Старший класс Чженя расслоения V ($c_n(V)$, где n является рангом V) всегда равен Шаблон:Не переведено 5 лежащего в основе вещественного векторного расслоения.

Классы Чженя в алгебраической геометрии

Аксиоматическое описание

Существует другое построение классов Чженя, которое принимает значения в алгебро-геометрическом аналоге кольца когомологий, Шаблон:Не переведено 5. Можно показать, что существует единственная теория классов Чженя, такая, что для заданного алгебраического векторного расслоения $E\to X$ над квазипроективным многообразием существует последовательность классов $c_i(E)\in A^i(X)$, такая, что

1. $c_0(E)=1$
2. Для обратимого пучка ${𝒪}_X(D)$, $c_1({𝒪}_X(D))=[D]$
3. Если дана точная последовательность векторных расслоений $0\to E^{\prime }\to E\to E^{″}\to 0,$ выполняется формула суммы Уитни: $c(E)=c(E^{\prime })c(E^{″})$
4. $c_i(E)=0$ для $i>\text{rank}(E)$
5. Отображение $E\mapsto c(E)$ расширяется до морфизма кольца $c:K_0(X)\to A^{\bullet }(X)$

Абстрактные вычисления с использованием формальных свойств

Прямые суммы линейных расслоений

Используя эти соотношения, мы можем осуществить многочисленные вычисления для векторных расслоений. Во-первых, заметим, что если у нас есть линейные расслоения $ℒ,{ℒ}^{\prime }$ мы можем образовать короткую точную последовательность векторных расслоений

$0\to ℒ\to ℒ\oplus {ℒ}^{\prime }\to {ℒ}^{\prime }\to 0$

Используя свойства $1$ и $2$, получаем

$\begin{array}{cc}c(ℒ\oplus {ℒ}^{\prime })& =c(ℒ)c({ℒ}^{\prime })\\ & =(1+c_1(ℒ))(1+c_1({ℒ}^{\prime }))\\ & =1+c_1(ℒ)+c_1({ℒ}^{\prime })+c_1(ℒ)c_1({ℒ}^{\prime })\end{array}$

По индукции получаем

$c(\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{ℒ}_i)=c({ℒ}_1)\cdots c({ℒ}_n)$

Раслоения, двойственые линейным расслоениям

Поскольку линейные расслоения на гладком проективном многообразии $X$ определяются классом дивизоров $[D]$, а двойственное линейное расслоение определяется отрицательным классом дивизоров $-[D]$, мы получаем

$c_1(ℒ)=-c_1({ℒ}^{\ast })$

Касательное расслоение проективного пространства

Вышеизложенное можно применить к последовательности Эйлера для проективного пространства

$0\to {𝒪}_{{\mathbb{P}}^n}\to {𝒪}_{{\mathbb{P}}^n}(1{)}^{\oplus (n+1)}\to {𝒯}_{{\mathbb{P}}^n}\to 0$

чтобы вычислить

$\begin{array}{cc}c({𝒪}_{{\mathbb{P}}^n})c({𝒯}_{{\mathbb{P}}^n})& =c({𝒪}_{{\mathbb{P}}^n}(1{)}^{\oplus (n+1)})\\ c({𝒯}_{{\mathbb{P}}^n})& =(1+H{)}^{n+1}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{0})1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1})H+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n})H^n\end{array}$

где $H$ — класс гиперплоскостей степени 1. Заметим также, что $H^{n+1}=0$ в кольце Чжоу ${\mathbb{P}}^n$.

Нормальная последовательность

Вычисление характеристических классов для проективного пространства является основой для вычисления характеристических классов многих других пространств, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия $X\subset {\mathbb{P}}^n$ существует короткая точная последовательность

$0\to {𝒯}_X\to {𝒯}_{{\mathbb{P}}^n}{|}_X\to {𝒩}_{X/{\mathbb{P}}^n}\to 0$

Трёхмерная квинтика

Например, рассмотрим трёхмерную квинтику в ${\mathbb{P}}^4$. Тогда нормальное расслоение задаётся ${𝒪}_X(5)$ и мы имеем короткую точную последовательность

$0\to {𝒯}_X\to {𝒯}_{{\mathbb{P}}^4}{|}_X\to {𝒪}_X(5)\to 0$

Пусть $h$ означает класс гиперплоскостей в $A^{\bullet }(X)$. Тогда формула суммы Уитни даёт нам

$\begin{array}{cc}c({𝒯}_X)c({𝒪}_X(5))& =(1+h{)}^5\\ & =1+5h+10h^2+10h^3\end{array}$

Поскольку кольцо Чжоу гиперповерхности трудно вычислить, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в ${\mathbb{P}}^4$. Это даёт нам

$c({𝒯}_X)=\frac{1+5h+10h^2+10h^3}{1+5h}$

Заметим, что имеет место формальный степенной ряд

$\begin{array}{cc}\frac{1}{1+5h}& =1-5h+25h^2-125h^3+\cdots \\ & =1-5h+25h^2-125h^3\end{array}$

Используя это, мы можем получить

$\begin{array}{cc}c({𝒯}_X)& =(1+5h+10h^2+10h^3)(1-5h+25h^2-125h^3)\\ & =1+10h^2-40h^3\end{array}$

Используя теорему Гаусса — Бонне, мы можем проинтегрировать класс $c_3({𝒯}_X)$ для вычисления эйлеровой характеристики. Традиционно это называется Шаблон:Не переведено 5. Имеем

${\int }_{[X]}{c}_3({𝒯}_X)={\int }_{[X]}-40h^3=-200$

поскольку класс $h^3$ может быть представлен пятью точками (по теореме Безу. Эйлерова характеристика может быть тогда использована для вычисления чисел Бетти $X$ путём использования определения эйлеровой характеристики и Шаблон:Не переведено 5.

Кокасательная последовательность

Другое полезное вычисление — кокасательное расслоение для проективного пространства. Мы можем дуализировать эйлерову последовательность и получить

$0\to {\mathrm{\Omega }}_{{\mathbb{P}}^n}\to {𝒪}_{{\mathbb{P}}^n}(-1{)}^{\oplus n+1}\to {𝒪}_{{\mathbb{P}}^n}\to 0$

Используя формулу суммы Уитни мы получаем

$\begin{array}{cc}c({\mathrm{\Omega }}_{{\mathbb{P}}^n})& =c({𝒪}_{{\mathbb{P}}^n}^{\oplus (n+1)})c({𝒪}_{{\mathbb{P}}^n})\\ & =(1-H{)}^{n+1}\\ & =1-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{1})H+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2})H^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{n})(-1{)}^n{H}^n\end{array}$

Близкие понятия

Характер Чженя

Классы Чженя можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в пополнение его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Чженя определяется выражением

$\mathrm{ch}(L)=\exp (c_1(L)):=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_1(L{)}^m}{m!}.$

Более общо, если $V=L_1\oplus \cdots \oplus L_n$ является прямой суммой линейных расслоений с первыми классами Чженя $x_i=c_1(L_i),$ характер Чженя определяется аддитивно

$\mathrm{ch}(V)=e^{x_1}+\cdots +e^{x_n}:=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m!}(x_1^m+\cdots +x_n^m).$

Это можно переписать следующим образом:

$\mathrm{ch}(V)=\mathrm{rk}(V)+c_1(V)+\frac{1}{2}(c_1(V{)}^2-2c_2(V))+\frac{1}{6}(c_1(V{)}^3-3c_1(V)c_2(V)+3c_3(V))+\cdots .$

Это последнее выражение, подкреплённое Шаблон:Не переведено 5, используется как определение ch(V) для произвольных векторных расслоений V.

Если для определения классов Чженя используется связность в случае, когда базой является многообразие (то есть Шаблон:Не переведено 5), явным выражением для характера Чженя является

$\text{ch}(V)=\left[\text{tr}(\exp \left(\frac{i\mathrm{\Omega }}{2\pi }\right))\right]$

где $\mathrm{\Omega }$ – кривизна связности.

Характер Чженя полезен в том числе тем, что он позволяет вычислить класс Чженя тензорного произведения. Точнее говоря, он удовлетворяет следующим равенствам:

$\text{ch}(V\oplus W)=\text{ch}(V)+\text{ch}(W)$

$\text{ch}(V\otimes W)=\text{ch}(V)\text{ch}(W).$

Как утверждалось выше, используя аксиому аддитивности Гротендика для классов Чженя, первое из этих тождеств можно обобщить до утверждения, что ch является гомоморфизмом абелевых групп из K-теории K(X) в рациональные когомологии пространства X. Второе тождество устанавливает факт, что этот гомоморфизм сохраняет произведение в K(X), а потому ch является гомоморфизмом колец.

Характер Чженя используется в Шаблон:Не переведено 5.

Числа Чженя

Если мы работаем с ориентированным многообразием размерности 2n, то любое произведение классов Чженя полной степени 2n может быть спарено с фундаментальным классом (или «интегрировано по многообразию»), давая целое число, число Чженя векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существует три линейно независимых числа Чженя, задаваемых значениями c₁³, c₁c₂ и c₃. В общем случае, если многообразие имеет размерность 2n, число независимых чисел Чженя равно числу разбиений числа n.

Числа Чженя касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Чженя многообразия и являются важными инвариантами.

Класс Чженя в обобщённых теориях когомологий

Существует обобщение теории классов Чженя, где обычные когомологии заменяются на обобщённые. Теории, для которых такое обобщение возможно, называются Шаблон:Не переведено 5. Формальные свойства классов Чженя остаются теми же с одной критической разницей — правило вычисления первого класса Чженя тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Чженя разложения не является (обычным) сложением, а задаётся Шаблон:Не переведено 5.

Класс Чженя в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии существует похожая теория классов Чженя векторных расслоений. Существует несколько вариаций, в зависимости от того, в каких группах классы Чженя лежат:

• Для комплексных многообразий классы Чженя могут принимать значения в обычных когомологиях (как выше).
• Для многообразий над полями общего вида классы Чженя могут принимать значения в теориях когомологий, таких как Шаблон:Не переведено 5 или Шаблон:Не переведено 5.
• Для многообразий V над полями общего вида классы Чженя могут принимать также значения в гомоморфизмах Шаблон:Не переведено 5 CH(V). Например, первый класс Чженя линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH(V) в CH(V), уменьшающий степень на 1. Это соответствует факту, что группы Чжоу являются аналогом групп гомологий и элементы групп когомологий можно считать гомоморфизмами групп гомологий путём Шаблон:Не переведено 5.

Классы Чженя многообразий со структурой

Теория классов Чженя является источником инвариантов кобордизмов для почти комплексных структур.

Если M — почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение является комплексным векторным расслоением. Классы Чженя многообразия M тогда определяются как классы Чженя его касательного расслоения. Если M является также компактным и имеет размерность 2d, то каждый одночлен полной степени 2d в классах Чженя может быть спарен с фундаментальным классом многообразия M, давая целое число, число Чженя многообразия M. Если M′ является другим почти комплексным многообразием той же размерности, то оно бордантно M тогда и только тогда, когда число Чженя многообразия M′ совпадает с числом Чженя многообразия M.

Теория также обобщается на вещественные симплектические векторные расслоения путём использования совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют однозначно определённый класс Чженя.

Классы Чженя на арифметических схемах и диофантовых уравнениях

(См. Шаблон:Не переведено 5)

См. также

• Класс Понтрягина
• Класс Штифеля — Уитни
• Теория Чженя — Саймонса
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга (Приведен очень короткий вводный обзор классов Чженя).
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Dieter Kotschick, Chern numbers of algebraic varieties Шаблон:Wayback