Проект:Математика/ФАН

Список основных тем по функану.

Метрические пространства

Метрические и топологические пространства. Примеры: $l_p,C_p[a,b],C^n[a,b]$. Неравенства Гёльдера и Минковского.

Полные метрические пространства

• Теорема о вложенных шарах
• Теорема Бэра
• Принцип сжимающих отображений

Компактные пространства

• Компактность и центрированные системы замкнутых множеств
• Критерий компактности
• Теорема Арцела — Асколи
• Эпсилон-энтропия и размерность Минковского

Линейные пространства

• Конечномерность и бесконечномерность, норма и скалярное произведение
• Эквивалентность норм в конечномерном пространстве
• Банаховы и гильбертовы пространства
• Сходимость рядов в нормированном пространстве. Пространства $L(x,\mu )$: сходимость в среднем, сходимость по мере
• Некомпактность замкнутого единичного шара в бесконечномерном пространстве, критерий конечномерности пространства
• Лемма о почти перпендикуляре
• Характеристическое свойство евклидовых пространств
• Понятие линейного топологического пространства
• Теорема Рисса о проекции
• Сепарабельность гильбертовых пространств

Линейные ограниченные операторы

• Связь непрерывности и ограниченности линейного оператора
• Топологии в пространстве операторов $L(E_1,E_2)$. Норма оператора. Полнота нормированного пространства $L(E_1,E_2)$
• Непрерывность оператора, константа Липшица
• Задача о продолжении непрерывного отображения. Продолжение линейного ограниченного оператора на замыкание области определения
• Принцип равномерной ограниченности
• Поточечная сходимость и сходимость по норме
• Теорема Банаха — Штейнгауза
• Полнота пространства $L(E_1,E_2)$ относительно поточечной сходимости

Типы множеств

• Нигде не плотное множество, нигде не плотность и (мера 0, компактность в нормированном пространстве)
• Категория Бэра
• Липшицева функция, нигде не липшицевы, нигде не дифференцируемые функции

Обратный оператор. Обратимость

• Обратимость линейного, ограниченного снизу ($\Vert Ax\Vert ⩾k\Vert x\Vert$) оператора
• Открытость множества обратных операторов в L(X,Y)
• Обратимость возмущённого оператора
• Теорема Банаха об обратном операторе. Резольвентное множество оператора, спектр и его компоненты

Аналитические свойства резольвенты

• Операторнозначные функции комплексного переменного. Аналитичность резольвенты. Спектральный радиус
• Теорема Куранти

Сопряжённое пространство. Теорема Рисса — Фреше. Теорема Хана — Банаха

• Функционалы в гильбертовом пространстве. Теорема Рисса — Фреше
• Теорема Хана — Банаха в пространстве без нормы и нормированном пространстве, её следствия (о достаточном числе функционалов в усиленной форме)
• Банахов предел
• Подалгебры в C(K), теорема Капутани — Крейна
• Теорема Стоуна — Вейерштрасса, вещественный и комплексный случаи

Слабая сходимость в банаховом пространстве

• Изометричность вложения E в E**. Критерий слабой сходимости последовательности
• Слабая сходимость и ограниченные операторы. Формулировка теоремы Банаха — Тихонова о слабой секвенциальной компактности единичного шара

Плотность и приближения

• Множества, плотные в $L_{\mathrm{\infty }}(X,\mu )$: ступенчатые функции
• Плотность гладких функций в $L_p(X,\mu )$; непрерывность в среднем элементов $L_p(X,\mu )$
• Теорема об ЭНП (элементе наилучшего приближения) в гильбертовом пространстве (существование и вариационное неравенство)
• Элемент наилучшего приближения к подпространству. Ортогональные дополнения и ортогональные проекторы
• Проектор на конечномерное пространство

Ряды

• Сходимость ортогональных рядов; ряды Фурье, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля
• Теорема Рисса — Фишера
• Теорема Радона — Никодима для мер
• Заряды. Теорема об ограниченности заряда
• Разложение заряда по Хану
• Разложение заряда по Жордану; интеграл по заряду, теорема Радона — Никодима для зарядов; вариаций заряда

Функционалы

• Рефлексивность $L_p(X,\mu )$
• Функционалы на C(K)
• Пространства с системой полунорм; критерий непрерывности линейного оператора
• Функционал Минковского
• Геометрическая форма теоремы Хана — Банаха, Следствие об отделимости замкнутых множеств
• Теорема Крейна — Мильмана
• Слабое замыкание выпуклых множеств
• Слабая сходимость
• Компактность в слабой топологии (теорема Банаха-Алаоглу[ы])

Мера и интеграл Лебега

• Теорема Ляпунова о векторной мере
• Метризуемость *слабой топологии шара в X*
• Метрика Хатчиссона
• Существование неподвижной меры для конечного набора сжатий
• Существование неподвижного компакта и его размерность
• Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике
• Схема распространения меры с алгебры на s-алгебру измеримых множеств
• Измеримые функции
• Интеграл Лебега (определение и основные свойства). Теоремы Лебега, Фату, Беппо Леви, Фубини. Примеры применения этих теорем в курсе уравнений математической физики
• Пространства $L_p$, их сепарабельность, полнота

Сопряжённый оператор

• Норма сопряжённого оператора. Теорема об обратимости сопряжённого оператора
• Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Равенство $(Ker{A}^{*}{)}^{\perp }=\overline{ImA}$
• Двойственный критерий

Самосопряжённые операторы

• Свойства квадратичной формы (Ax, x) и собственных значений самосопряжённого оператора A
• Разложение $H=Ker(A-\lambda I)\oplus \overline{Im(A-\lambda I)}$ гильбертова пространства, где A — самосопряжённый оператор
• Критерий принадлежности числа спектру. Вещественность спектра самосопряжённого оператора
• Теорема о спектре самосопряжёного оператора: $\sigma (A)\subseteq [m_{-},m_{+}],r(A)=\Vert A\Vert$

Компактный оператор

• Свойства компактных операторов (включая оператор с непрерывным ядром и лемму о сходимости), основные свойства комплексных операторов, лемма о замкнутости образа
• Свойства собственных значений компактного оператора
• Оператор с ядром Гильберта — Шмидта
• Альтернатива Фредгольма
• Теорема Фредгольма для компактных самосопряжённых операторов
• Спектр компактного самосопряжённого оператора. Теорема Гильберта-Шмидта

Элементы нелинейного функционального анализа

• Производная Фреше, производная Гато. формула конечных приращений
• Теорема Шаудера

Источники

• Программа ФАН в Физтехе
• Вопросы к экзамену на матмехе СПбГУ