Проект:Математика/Списки/Список математических функций
Перейти к навигации
Перейти к поиску
В математике, многие функции и группы функций настолько важны, что заслужили право на собственные имена. Ниже приведён список статей, которые содержат подробные описания некоторых из таких функций.
Элементарные функции
Элементарные функции — функции, построенные на основе базовых арифметических действий (например: сложение, возведение в степень, логарифм).
Алгебраические функции
Алгебраические функции являются функциями, которые могут быть описаны как многочлен с целыми коэффициентами.
- Многочлен (также известный как «полином»): может быть создан с использованием функций сложения, произведения и возведения в степень.
- Линейная функция: многочлен первой степени, графиком функции является прямая линия.
- Квадратичная функция: многочлен второй степени, графиком функции является парабола.
- Кубическая функция: многочлен третьей степени, графиком функции является кубическая парабола.
- Биквадратная функция: многочлен четвертой степени (ранее так назывались все подобные многочлены, сейчас только один из видов).
- Возвратная функция: многочлен четвертой степени, у которого коэффициенты, стоящие на симметричных относительно середины позициях — равны.
- Триквадратная функция: многочлен шестой степени, по виду подобный биквадратному.
- Бикубическая функция: вид многочленов шестой степени.
- Рациональная функция: дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.
- Арифметический корень
Трансцендентные функции
Трансцендентные функции: аналитические функции, не являющиеся алгебраическими.
- Показательная функция: особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).
- Гиперболические функции: выражаются через экспоненту и тесно связаны с тригонометрическими функциями.
- Логарифмы: инверсия показательной функции, широко используются для упрощения трудоёмких вычислений в практике экспериментов.
- Натуральный логарифм: логарифм по основанию e.
- Десятичный логарифм: логарифм по основанию 10.
- Двоичный логарифм: логарифм по основанию 2.
- Периодические функции: функции, повторяющие свои значения через какой-то регулярный интервал.
- Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и другие функции, использующиеся в геометрии.
- Функция Гудермана: связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.
- Шаблон:Не переведено 3
- Меандр
- Шаблон:Не переведено 3
Базовые специальные функции
- Индикаторная функция: также известна как характеристическая функция или индикатор.
- Кусочно-заданные функции
- Функция пол и аналогичная функция потолок — определяют правило округления до целого в меньшую и большую сторону соответственно.
- Функция Хевисайда: равна нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных.
- Сигнум
- Абсолютная величина: также известна как модуль.
Функции теории чисел
- Функция делителей, также известная как сигма-функция: сумма степеней делителей целого числа.
- Функция Эйлера: количество натуральных чисел, меньших данного и взаимно простых (не имеющих общих делителей кроме 1) с ним.
- Пи-функция: равна числу простых чисел, меньше либо равных данному действительному числу.
Первообразные элементарных функций
- Интегральный логарифм: специальная функция, определяемая интегралом. Играет важную роль в теореме о распределении простых чисел.
- Интегральная экспонента
- Интегральные тригонометрические функции
- Функция ошибок, также известная как функция Лапласа
- Интегралы Френеля: используются в оптике
- Функция Доусона
Гамма-функции
- Гамма-функция: расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел.
- G-функция Барнса: расширяет понятие суперфакториала на поле комплексных чисел.
- Бета-функция, также известная как бета-функция Эйлера или интеграл Эйлера I рода.
- Дигамма-функция, также известная как пси-функция: логарифмическая производная гамма-функции.
- Полигамма-функция
- Неполная бета-функция: обобщение бета-функции.
- Шаблон:Не переведено 3
- K-функция: расширяет понятие гиперфакториала на поле комплексных чисел.
- Распределение Стьюдента: однопараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.
Эллиптические функции
- Эллиптический интеграл: появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса.
- Эллиптическая функция: периодическая в двух направлениях функция, заданная на комплексной плоскости.
- Эллиптические функции Вейерштрасса, также известные как -функции Вейерштрасса.
- Эллиптические функции Якоби: имеют прямое отношение к некоторым прикладным задачам (например, уравнение маятника).
- Тэта-функции, также известные как θ-функции: специальные целые функции, отношения которых представляют эллиптические функции.
- Модулярная функция: голоморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости.
- Шаблон:Не переведено 3: основной модулярный инвариант.
- Ряды Эйзенштейна: специальные простые примеры модулярных форм, задаваемые как сумма явно выписываемого ряда.
Функции Бесселя
- Функция Эйри: описывает вид звезды (точечного источника света) в телескопе. Также является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.
- Функции Бесселя: применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах, а также в решении других задач, например, при обработке сигналов.
- Функции Инфельда: модифицированные функции Бесселя первого рода.
- Функция Макдональда: модифицированная функция Бесселя второго рода.
- Функции Скорера
- Кардинальный синус
- Многочлены Эрмита: возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
- Многочлены Чебышёва: играют важную роль в теории приближений.
- Функции Кельвина
Дзета-функция Римана и связанные с нею
- Дзета-функция Римана: специальный случай ряда Дирихле.
- Дзета-функция Гурвица: обобщение дзета-функции Римана.
- Полилогарифм: определяется как бесконечный степенной ряд.
- Дилогарифм: частный случай полилогарифма.
- Интеграл Ферми — Дирака: альтернативное определение для полилогарифма.
- Шаблон:Не переведено 3
- Хи-функция Лежандра: является частным случаем дзета-функции Лерха.
Гипергеометрические функции
- Гипергеометрическая функция: многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.
- Функция Лежандра
Повторяющиеся экспоненциальные функции
- Гипероператор: обобщение арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень.
- Тетрация: повторяющееся возведение в степень.
- Пентация: повторяющаяся тетрация.
- Суперлогарифм и Суперкорень: обратные функции тетрации.
- W-функция Ламберта: не может быть выражена в элементарных функциях. Применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.
Другие специальные функции
- Лямбда-функция
- Функция Миттаг-Леффлера: обобщение показательной функции.
- Функции параболического цилиндра
Прочие функции
- Функция Аккермана: простой пример вычислимой функции в теории алгоритмов, которая не является примитивно рекурсивной.
- Дельта-функция, также известная как Шаблон:Math-функция, Шаблон:Math-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция: позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т.п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
- Функция Дирихле: применяется в теории вероятностей и математической статистике.
- Символ Кронекера, также известный как дельта Кронекера: индикатор равенства элементов.
- Функция Минковского, также известная как функция «вопросительный знак» Минковского: монотонная сингулярная функция.
- Функция Вейерштрасса: непрерывная функция, нигде не имеющая производной.
- R-функция: числовая функция действительных переменных, знак которой вполне определяется знаками её аргументов
- S-функция: гладкая дифференцируемая функция, которые позволяет строить поверхности типа поверхностей Ляпунова